第2章 电路的正弦稳态分析

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1、第 2 章 电路的正弦稳态分析教学提示：正弦交流电路的稳态分析，主要是分析和计算当正弦交流电路达到稳定状态时，不同参数和不同结构的正弦交流电路中电压与电流之间的关系和功率。交流电路具有一些用直流电路的概念无法理解和无法分析的物理现象，借助相量的形式可方便的分析和计算正弦交流电路。分析和计算正弦交流电路首先要掌握正弦交流电路中电阻、电感、电容元件电压、电流、功率之间的关系（特别是它们的相量关系）。在此基础上再利用电路的基本定律和分析方法分析和计算各种不同参数和不同结构的正弦交流电路。教学要求：本章让同学们掌握正弦交流电路的概念、分析和计算方法。应重点掌握正弦交流量的相量表示法，电阻、电感、电容元

2、件上电压与电流之间的相量关系，以及正弦交流电路的功率等。2.1 正弦量的相量表示法 在第 1 章中我们介绍了电压、电流、功率的概念，以及电路的基本定律和分析方法，虽然这些概念、基本定律和分析方法是在直流电路的基础上介绍的，但它们适用于任何形式的电路。交流电路有着不同于直流电路的特性，所谓正弦交流电路，是指含有正弦电源（激励）而且电路各部分所产生的电压和电流（响应）者是正弦量的电路，简称交流电路。我们应掌握交流量的概念，抓住交流电路的特点，借助正弦量的相量表示法分析和计算处于稳定状态的正弦交流电路。本节通过介绍正弦交流量的概念及正弦量的相量表示法，系统介绍如何利用相量来表示正弦量。2.1.1 正

3、弦交流电压、电流第 1 章我们主要分析和介绍的是直流电路。然而，在现代技术中，无论是生产用电还是生活用电，几乎都采用正弦交流电。即使某些应用直流电的场合，也多是将交流电经整流滤波而获得直流电。大小和方向随时间作周期性变化的电压和电流称之为交流电。若大小和方向随时间按正弦规律变化的电流、电压、电动势等称之为正弦交流电，如图 2-1 所示。由于正弦电压和电流的大小和方向是按正弦规律作周期变化的，一般在电路中所标的参考方向（正方向），是正半周期的方向， 负半周期的方向则与之相反。正弦交流电压、正弦交流电流、正弦交流电动势等物理量又称为正弦量，一个正弦量的特征表现在变化的快慢、大小及初值三个方面。它们

4、分别由频率、幅值、和初相位来确第 2章 正弦电路的稳态分析2定。确定了正弦量的频率、幅值、和初相位就确定了一个正弦量，所以我们把频率、幅值、和初相位称为正弦量的三要素。图 2-1 正弦波形（电流）正弦交流电之所以得到广泛应用，是由于它具有许多优良性能。例如，正弦交流电便于产生和利用；交流电机比直流电机结构简单、价格低、坚固耐用、使用和维护方便；能够利用变压器对不同交流电压进行变换；正弦量变化平滑，在正常情况下不会引起过电压而破坏电气设备的绝缘（如果采用非正弦量，由于非正弦量中含有高次谐波，而这些高次谐波往往不利于电气设备的运行）。1周期、频率、角频率正弦量变化一次所需的时间称为周期 T ，而一

5、秒内变化的次数称为频率 f。频率和周期互为倒数关系，即 （2-1）f1正弦量变化的快慢还可以用角频率 表示，它表示正弦量每秒经过的弧度。在国际单位制中，频率的单位是赫兹（Hz），简称赫，周期的单位是秒（s），角频率的单位是弧度每秒（rad/s）。频率、周期、角频率，都是表示正弦量的变化快慢的量，它们的关系是：（2-2）fT2世界上大多数国家，包括我国都采用 50Hz 作为电力标准频率，这种频率在工业上广泛应用，习惯上称为工频。也有些国家（如美国、英国、日本等）采用 60Hz 作为工频。音频信号的频率范围为 20Hz20kHz；高频炉的频率范围为 200kHz300kHz；中频炉的频率范围为 5

6、00 Hz8000Hz；移动通信的（载波）频率是 900MHz 和 1800MHz；在无线通信中使用的（载波）频率可高达 300GHz（1GHz = Hz）。910第 2章 电路的正弦稳态分析32. 幅值与有效值 瞬时值：正弦量任一瞬间的值。通常用小写字母表示，如：u、 及 e 分别表示电压、i电流及电动势。幅值：瞬时值中最大的值，又称最大值。通常用大写字母带下标 m 表示，如分别表示电压、电流及电动势的幅值。mEIU、图 2-1 是正弦电流波形，它的三角函数表达式为（2-3）)sin(tIm正弦交流电的大小往往不用它的瞬时值或幅值计量，而是常用他们的有效值来计量。通常交流设备上标明的或仪器仪

7、表所测量的值都是有效值，有效值用大写字母表示，如、 、 分别表示电压、电流及电动势的有效值。IE有效值是根据电流的热效应来规定的，因为在电工技术中，电流常表现出热效应。所谓有效值是指，某一个周期电流 通过电阻 R 在一个周期内产生的热量，和另一个直流电i流 I 通过同样大小的电阻在相等的时间内产生的热量相等，那么这个直流电流的值就等于这个周期电流的有效值。即TTIdtiR022)(（方均根） （2-4）I1式（2-4）适用于所有的周期量，但不适用于非周期量。当周期量为正弦周期量时，即 ，则tIimsn2)2cos1(cos12002 0202 mTTmTIdtdtI dtt即电流的有效值 与幅

8、值 的关系为（2-5）I同样可推导出电压、电动势的有效值 与幅值 的关系分别为EU、 m、（2-6）2m（2-7）E例 2.1 已知 ， ， ,试求周期 、角频率 、有tumsinVm310Hzf5T效值 和 时的瞬时值。Ut1.0解 fT2.05第 2章 正弦电路的稳态分析4sradf /31450.2VUm31sinsinftu3. 初相位由于正弦量是随时间变化的，所以要确定一个正弦量还须确定一个计时起点，所取的计时起点不同正弦量的初始值就不同，到达幅值或某一特定值所需的时间就不同。正弦量的一般表达式为)sin(tIm式中: 称为正弦量的相位角或相位，当 t=0 时的相位角 称初相位角或初

9、相位。t 在一个正弦电路中，电压 和电流 的频率是相同的，但初相位不一定相同。例如图ui2-2 所示，图中 和 的三角函数表达式为ui（2-8）)sn(1tUm（2-9）2I图 2-2 和 的初相位不相等ui只有两个同频率的正弦量才能比较相位，两个同频率的正弦量的相位角之差或初相位角之差称为相位差。如上式（2-8）、（2-9）所示 、 的相位差i(2-10)2121)()( tt通常规定，电压比电流超前时，其相位差为正，电压比电流滞后时，其相位差为负。当 则称 比 超前 角或称 比 滞后 角；0uiiu当 则称 比 滞后 角或称 比 超前 角；当 则称 与 同相；当 则称 与 反相；o18i通

10、常 。o0不同频率的正弦量是不能比较相位的。第 2章 电路的正弦稳态分析52.1.2 正弦量的相量表示法正弦量具有幅值、频率及初相位三个特征量，换言之只要确定了这三个特征量就确定了一个正弦量，而要表示一个正弦量就必需同时能将这三个特征量表示出来，只要选择一种方法能同时表示这三个特征量就可以用这种方法来表示正弦量。前面我们已经介绍了正弦量的两种表示方法，一是用三角函数式来表示一个正弦量，如 ，幅值、频率及初相位三个特征量分别用 同时表示出来，)sin(tIm 、mI这是正弦量的基本表示方法，二是用正弦波形的方法来表示，如图 2-2 所示。这两种表示方法虽然可完整形象的表达出正弦交流量，但利用这两

11、种方法，计算起来比较繁杂，分析和计算正弦交流电路也有所不便。除上述两种方法外，还可用一旋转的有向线段来表示正弦量，如图 2-3 所示。用有向线段的模 来表示正弦量的幅值（有效值），用有向线段的初始位置与横轴的夹角 表A 示正弦量的初相位，用旋转线段的角速度 来表示正弦量的角频率。这样也可完全表述一个正弦量。当有向线段以角速度逆时针旋转时，任一时刻有向线段（矢量）在纵轴上的投影就是正弦量的瞬时值。图 2-3 用一旋转的有向线段来表示正弦量正弦交流量之所以能得到广泛应用，除了上一节我们介绍的优点外，同时还具有以下优点，同频率的正弦交流量之和或差仍为同一频率的正弦量，正弦量对时间的导数或积分也是同一

12、频率的正弦量，这就有可能使电路各部分的电压和电流都为同一频率的正弦交流量。实际上在线性电路中正弦激励和响应均为同频率的正弦量，所以对于已知的或具有特定频率值的正弦量，我们可不考虑他的频率。这样对正弦量我们就只需表示其幅值和初相位就可以了，即用有向线段的模来表示正弦量的幅值（有效值），用有向线段的初始位置与横轴的夹角表示正弦量的初相位，这样用一有向线段就能表示正弦量，而有向线段可用复数来表示。这就为引入“相量”创造了条件：“相量”就是用复数的“模”和“幅角”分别表示正弦量“大小”和“初相位”的一种方法，用在大写字母上打“.”的方法来标记。在分析正弦电路时，“相量”是我们表示正弦量最常用的方法。由

13、于引入“相量”的前提是“同频率”，因此，“不同频率”的两个量就不能用“相量”来分析和计算。下来以电压为例说明相量的几种表示法，若有正弦交流电压 ，则)sin(tUum它的有效值的相量表达式为（2-11）UejUj)sin(co第 2章 正弦电路的稳态分析6它的幅值的相量表达式为（2-12）mjmUejU)sin(co上式中 是复数的虚数单位，即 ，满足 ， 。j 112j式（2-11）中 是电压的有效值相量，所以表示它的相量（复数）的模是电压的有效值 ，表示它的相量（复数）的辐角 是电压的初相位。式（2-12）中 是电压的幅值相量，所以表示它的相量（复数）的模是电压的幅值m。 mU应注意有效值

14、相量表示法和幅值相量表示法的对应关系。根据复数的运算规则，相量还可表示为（2-13）jbaU其有效值 和初相位 分别为（2-14）2)arctn(b（2-15）jba需要指出的是，相量只是正弦量的一种表示方法，正弦量不是相量，相量也不是正弦量。只有正弦量才能用相量表示，相量不能表示非正弦量。按照各个正弦量的大小和相位关系用初始位置的有向线段画出的若干个相量的图形称为相量图。只有同频率的正弦量才能画在同一个相量图上，不同频率的正弦量不能画在一个相量图上，否则就无法比较和计算。在相量图上能够直观地看出各个正弦量的大小和相互间的相位关系。例如，在图 2-2中的正弦波形表示的电压 和电流 两个正弦量，

15、在式（2-8）和式（2-9）中是用三角函ui数式表示的，如用相量图表示如图 2-4 所示。电压相量 比电流相量 超前 角，也就UI是正弦电压 比正弦电流 超前 角。i图 2-4 电压、电流相量图由上可知，表示正弦量的相量有两种形式，相量图和复数式（相量式）。当 时，则90第 2章 电路的正弦稳态分析7jjej 90sinco90因此，任意一个相量乘上 后，即向前（逆时针方向）旋转了 90；乘上 后，即j向后（顺时针方向）旋转了 90， 称为旋转 90的算子。2.2 基尔霍夫定律的相量形式在第 1 章中我们介绍了基尔霍夫定律，基尔霍夫定律是电路的基本定律，它不仅适用于直流电路，同样适用于交流电路。在分析交流电路时，我们常用相量的形式表示交流量，下面我们介绍交流电路中基尔霍夫定律的相量形式。2.2.1 基尔霍夫电流定律的相量形式我们知道基尔霍夫电流定律的一般形式是，对于任一集中参数电路中的任一节点，在任一时刻，流出该接点的电流之和等于流进该接点的电流之和。即对任一节点而言，流过该节点的电流的代数和恒等于零。在正弦交流电路中，由于采用相量表示交流量，则基尔霍夫电流定律可表达为，对于任一正弦交流电路中的任一节点，流出该接点的电流的相量之和等于流进该接点的电流相量之和。即流过该节点的电流的相量的代数和恒等于零。图 2-5在图 2-5 所示的电路中，对节点