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1、第五章 多项式、插值与数据拟合,多项式MATLAB命令 插值 Lagrange插值 Hermite插值 Runge现象和分段插值 分段插值 样条插值的MATLAB表示 数据拟合 多项式拟合 函数线性组合的曲线拟合方法 最小二乘曲线拟合 B样条函数及其MATLAB表示,5.1 关于多项式MATLAB命令,一个多项式的幂级数形式可表示为： 也可表为嵌套形式 或因子形式 N阶多项式n个根，其中包含重根和复根。若多项式所有系数均为实数，则全部复根都将以共轭对的形式出现,幂系数：在MATLAB里，多项式用行向量表示，其元素为多项式的系数，并从左至右按降幂排列。 例： 被表示为 p=2 1 4 5 pol
2、y2sym(p) ans = 2*x3+x2+4*x+5 Roots: 多项式的零点可用命令roots求的。 例： r=roots(p) 得到 r = 0.2500 + 1.5612i 0.2500 - 1.5612i -1.0000 所有零点由一个列向量给出。,Poly: 由零点可得原始多项式的各系数，但可能相差一个常数倍。 例： poly(r) ans = 1.0000 0.5000 2.0000 2.5000 注意：若存在重根，这种转换可能会降低精度。 例： r=roots(1 -6 15 -20 15 -6 1) r = 1.0042 + 0.0025i 1.0042 - 0.0025
3、i 1.0000 + 0.0049i 1.0000 - 0.0049i 0.9958 + 0.0024i 0.9958 - 0.0024i 舍入误差的影响，与计算精度有关。,polyval: 可用命令polyval计算多项式的值。 例： 计算y(2.5) c=3,-7,2,1,1； xi=2.5; yi=polyval(c,xi) yi = 23.8125 如果xi是含有多个横坐标值的数组，则yi也为与xi长度相同的向量。 c=3,-7,2,1,1; xi=2.5,3; yi=polyval(c,xi) yi = 23.8125 76.0000,polyfit:给定n+1个点将可以唯一确定一个
4、n阶多项式。利用命令polyfit可容易确定多项式的系数。 例： x=1.1,2.3,3.9,5.1; y=3.887,4.276,4.651,2.117; a=polyfit(x,y,length(x)-1) a = -0.2015 1.4385 -2.7477 5.4370 poly2sym(a) ans = -403/2000*x3+2877/2000*x2-27477/10000*x+5437/1000 多项式为 Polyfit的第三个参数是多项式的阶数。,多项式积分： 功能：求多项式积分 调用格式：py=poly_itg(p) p:被积多项式的系数 py：求积后多项式的系数 poly
5、_itg.m function py=poly_itg(p) n=length(p); py=p.*n:-1:1.(-1),0 不包括最后一项积分常数,多项式微分： Polyder: 求多项式一阶导数的系数。 调用格式为: b=polyder(c ) c为多项式y的系数，b是微分后的系数， 其值为：,两个多项式的和与差： 命令poly_add:求两个多项式的和,其调用格式为: c= poly_add(a,b) 多项式a减去b，可表示为: c= poly_add(a,-b),功能：两个多项式相加 调用格式：b=poly_add(p1,p2) b:求和后的系数数组 poly_add.m funct
6、ion p3=poly_add(p1,p2) n1=length(p1); n2=length(p2); if n1=n2 p3=p1+p2;end if n1n2 p3=p1+zeros(1,n1-n2),p2;end if n1n2 p3=zeros(1,n2-n1),p1+p2;end,m阶多项式与n阶多项式的乘积是d=m+n阶的多项式: 计算 系数的MATLAB命令是:c=conv(a,b) 多项式 除多项式 的除法满足: 其中 是商, 是除法的余数。多项式 和 可由命令deconv算出。 例：q, r=deconv(a,b),例 a=2,-5,6,-1,9; b=3,-90,-18;
7、 c=conv(a,b) c = 6 -195 432 -453 9 -792 -162 q,r=deconv(c,b) q = 2 -5 6 -1 9 r = 0 0 0 0 0 0 0 poly2sym(c) ans = 6*x6-195*x5+432*x4-453*x3+9*x2-792*x-162,5.2 插值5.2.1 Lagrange插值,方法介绍 对给定的n个插值点 及对应的函数值 ，利用构造的n-1次Lagrange插值多项式，则对插值区间内任意x的函数值y可通过下式求的： MATLAB实现,function y=lagrange(x0,y0,x) ii=1:length(x0
8、); y=zeros(size(x); for i=ii ij=find(ii=i); y1=1; for j=1:length(ij), y1=y1.*(x-x0(ij(j); end y=y+y1*y0(i)/prod(x0(i)-x0(ij); end 算例：给出f(x)=ln(x)的数值表，用Lagrange计算ln(0.54)的近似值。 x=0.4:0.1:0.8； y=-0.916291,-0.693147,-0.510826,-0.356675,-0.223144; lagrange(x,y,0.54,0.55,0.78) ans = -0.6161 -0.5978 -0.248
9、4 （ 精确解-0.616143),5.2.2 Hermite插值,方法介绍 不少实际问题不但要求在节点上函数值相等，而且要求导数值也相等，甚至要求高阶导数值也相等，满足这一要求的插值多项式就是Hermite插值多项式。下面只讨论函数值与一阶导数值个数相等且已知的情况。 已知n个插值点 及对应的函数值 和一阶导数值 。则对插值区间内任意x的函数值y的Hermite插值公式：,MATLAB实现 % hermite.m function y=hermite(x0,y0,y1,x) n=length(x0); m=length(x); for k=1:m yy=0.0; for i=1:n h=1.
10、0; a=0.0; for j=1:n if j=i h=h*(x(k)-x0(j)/(x0(i)-x0(j)2; a=1/(x0(i)-x0(j)+a; end end yy=yy+h*(x0(i)-x(k)*(2*a*y0(i)-y1(i)+y0(i); end y(k)=yy; end,算例:对给定数据,试构造Hermite多项式求出sin0.34的近似值。 x0=0.3,0.32,0.35; y0=0.29552,0.31457,0.34290; y1=0.95534,0.94924,0.93937; y=hermite(x0,y0,y1,0.34) y = 0.3335 sin(0.
11、34) 与精确值比较 ans = 0.3335, x=0.3:0.005:0.35;y=hermite(x0,y0,y1,x); plot(x,y) y2=sin(x); hold on plot(x,y2,-r),5.2.3 Runge现象,问题的提出：根据区间a,b上给出的节点做插值多项式p(x)的近似值，一般总认为p(x)的次数越高则逼近f(x)的精度就越好，但事实并非如此。 反例： 在区间-5,5上的各阶导数存在，但在此区间上取n个节点所构成的Lagrange插值多项式在全区间内并非都收敛。 取n=10,用Lagrange插值法进行插值计算。, x=-5:1:5; y=1./(1+x.
12、2); x0=-5:0.1:5; y0=lagrange(x,y,x0); y1=1./(1+x0.2); 绘制图形 plot(x0,y0,-r) 插值曲线 hold on plot(x0,y1,-b) 原曲线 为解决Rung问题，引入分段插值。,算法分析：所谓分段插值就是通过插值点用折线或低次曲线连接起来逼近原曲线。 MATLAB实现 可调用内部函数。 命令1 interp1 功能 ： 一维数据插值（表格查找）。该命令对数据点之间计算内插值。它找出一元函数f(x)在中间点的数值。其中函数f(x)由所给数据决定。 格式1 yi = interp1(x,Y,xi) %返回插值向量yi，每一元素对
13、应于参量xi，同时由向量x与Y的内插值决定。参量x指定数据Y的点。若Y为一矩阵，则按Y的每列计算。 算例 对于t，beta 、alpha分别有两组数据与之对应，用分段线性插值法计算当t=321, 440, 571时beta 、alpha的值。,5.2.4 分段插值, temp=300,400,500,600; beta=1000*3.33,2.50,2.00,1.67; alpha=10000*0.2128,0.3605,0.5324,0.7190; ti=321,400,571; propty=interp1(temp,beta,alpha,ti); propty=interp1(temp,
14、beta,alpha,ti ,linear); ti,propty ans = 1.0e+003 * 0.3210 3.1557 2.4382 0.4000 2.5000 3.6050 0.5710 1.7657 6.6489,格式2 yi = interp1(Y,xi) %假定x=1:N，其中N为向量Y的长度，或者为矩阵Y的行数。 格式3 yi = interp1(x,Y,xi,method) %用指定的算法计算插值： nearest：最近邻点插值，直接完成计算； linear：线性插值（缺省方式），直接完成计算； spline：三次样条函数插值。 cubic： 分段三次Hermite插值。
15、 其它，如v5cubic 。 对于超出x范围的xi的分量，使用方法nearest、linear、v5cubic的插值算法，相应地将返回NaN。对其他的方法，interp1将对超出的分量执行外插值算法。 yi = interp1(x,Y,xi,method,extrap) yi = interp1(x,Y,xi,method,extrapval) %确定超出x范围的xi中的分量的外插值extrapval，其值通常取NaN或0。,算例 year=1900:10:2010; product=75.995,91.972,105.711,123.203,131.669,. 150.697,179.323,203.212,226.505,249.633,256.344,267.893; p1995 = interp1(year,product,1995) p1995 = 252.9885 x = 1900:1:2010; y = interp1(year, product,x,cubic); plot(year, product,o,x,y),例:已知的数据点来自函数根据生成的数据进行插值处理，得出较平滑的曲线直接生成数据。 x=0:.12:1; y=(x.2-3*x +5).*exp(-
