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1、, 一元微积分学,高 等 数 学 A（1）,第十讲 函数的连续性,第三章 函数的连续性,本章学习要求： 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。 了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数 的性质（介值定理、最值定理）。,第三章 函数的连续性,第一、二节 函数的连续性及其性质,一、连续函数的概念,二. 函数的间断点,连续函数的运算 及其基本性质,四.初等函数的连续性,设 f (x) 在 U(x0) 内有定义, 若,则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的.,1.函数连续性的定义 (极限形式),可减弱：x0 为聚点,函数的连续性是一个局部性的概念, 是
2、逐点定义的.,定义,是整个邻域,函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点：,函数 y = x2 在点 x = 0 处是否连续 ?, 函数 y = x2 在点 x = 0 处连续.,又,且, y = x 2 在 U(0) 内有定义,解,函数的连续性是通过极限定义的, 当然可以 运用 语言描述它.,2.连续性的 语言形式,设函数 f (x) 在 U(x0) 内有定义., , 若 , 当 | x x0 | 时, 有,则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的.,| f (x) f (x0) | ,成立,定义,3.连续性概念的增量形式,在某过程中, 变量 u 的终值 u2 与它的,
3、初值 u1 的差 u2 u1, 称为变量 u 在 u1处的,增量, 记为 u = u2u1.,定义,设函数 f (x) 在 U(x0) 内有定义, xU(x0) , 则称 x = x x0 为自变量 x 在 x0 点处的增量.,= f (x0 + x) f (x0 ).,y = f (x) f (x0 ),x,y,O,x0,x,x,y,y = f (x),此时, x = x0 + x ,相应地, 函数在点 x0 点处,有增量 y, 且,连续性概念的增量形式,则称 f (x) 在点 x0 处连续.,设 f (x) 在 U(x0) 内有定义. 若,定义,4.函数的左、右连续性,设函数 f (x)
4、在 x0, x0+ ) 内有定义. 若,则称 f (x) 在 x0 点处右连续.,设函数 f (x) 在 (x0 , x0 内有定义. 若,则称 f (x) 在 x0 点处左连续.,其中, 为任意常数.,定义,定理,讨论 y = | x |, x() 在点 x = 0 处, y = | x | 在点 x = 0 处连续.,x,y,y = | x |,O,的连续性.,解,讨论 y = sgn x 在点 x = 0 处的连续性.,sgn x,1,x 0,sgn x|x=0=sgn 0 = 0,故符号函数 y = sgn x 在点 x = 0 处不连续.,0,x = 0,1,x 0.,解,讨论函数
5、f (x) =,x2, x 1,在 x = 1 处的连续性., 函数 f (x) 在点 x = 1 处不连续.,故函数 f (x) 在点 x = 1 处是左连续的.,x + 1, x 1,但由于,解,5.函数在区间上的连续性,设函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内有定义.,若 x0(a, b), f (x) 在点 x0 处连续,则称 f (x) 在开区间 (a, b) 内连续, 记为,f (x)C( (a, b) ).,定义,若 f (x)C( (a, b) ), 且 f (x) 在 x = a 处,右连续, 在端点 x = b 处左连续, 则称函数,f (x) 在闭区间 a, b 上
6、连续, 记为,f (x)C( a, b ).,对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性,定义,一般地, 如果函数 f (x) 在区间 I,上连续, 则记为 f (x) C( I ) .,介绍李普希茨(Lipschitz)连续性、 赫尔德(hlder)连续性.,二. 函数的间断点,函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点：,1.函数间断点的定义,满足下述三个条件中的任何一个, 则称函数 f (x),在点 x0 处间断, 点 x0 称为函数 f (x) 的一个间断点：,定义,求函数间断点的途径:,2.函数间断点的分类,函数的间断点,(1) 第一类间断点,若 x0 为函数 f (x)
7、 的一个间断点, 且,f (x) 的第一类间断点.,则称 x0 为函数,定义,在 x = 0 处的连续性.,y,x,O,1,y = sinx,yx+1,由图可知, 函数在 点 x0 处间断.,故 x = 0 是 f (x) 的第一类间断点.,将左、右极限存在但不相等的间断点, 称为函数的跳跃型间断点.,解,讨论,函数在 x =1 无定义,故 x =1 为函数的第一类间断点., x =1 为函数的间断点.,y,x,O,1,1,P(1,2),y x + 1,进一步分析该间断点的特点.,解,补充定义,则函数 f *(x) 在 x =1 连续.,f * (x) =,2 x = 1,即定义,这种间断点称
8、为可去间断点.,处函数值后, 可得到一个新的连续函数 , 故将,在且相等, 即极限存在, 经过补充定义间断点,这个间断点的特点是该处的左、右极限存,第一类间断点,左右极限存在,极限不相等,极限相等、补充定义,(2) 第二类间断点,凡不属于第一类的间断点, 称为函数的第二类间断点.,这算定义吗？,定义,即左右极限至少有一个不存在的点.,讨论函数,x,y,O,在 x = 0 无定义,x = 0为函数的间断点,故 x = 0为函数,的第二类间断点.,解,在 x = 0 处无定义,又,不存在,故 x = 0 为函数的第二类间断点.,看看该函数的图形.,解,O,1,1,x,y,第二类间断点,左右极限至少
9、有一个不存在,左右极限至少有一个为无穷,左右极限至少有一个振荡,连续函数的运算 及其基本性质,回忆函数极限的四则运算,则,1.连续函数的四则运算,设函数 f (x)、 g(x), fi (x) 在点 x0 处连续,则,即,有限个在点 x0 处连续函数的和仍是一个 在点 x0 处连续的函数. 即,(2) 有限个在点 x0 处连续的函数之积仍是一个在点 x0 处的连续函数. 即,(3) 两个在点 x0 处连续函数的商, 当分母不为 零时, 仍是一个在点 x0 处连续函数. 即,2.几个重要定理,这些定理与极限中的定理类似,x,y,y = f (x),y = | f (x) |,O,若 f (x)
10、在区间 I 上连续, 则 | f (x) | 仍,在 I 上连续.,定理 1,该定理的逆命题不成立.,例如, f (x) =,1, x 为有理数,1, x 为无理数.,注意：,若函数 f (x) 在点 x0 连续, 且 f (x0) 0,(或 f (x0) 0, 使当 xU(x0, ),时, 有 f (x) 0 (或 f (x) 0 ).,定理 2,(保号性定理),反函数的连续性,y = f 1(x) 的图形只是 y = f (x) 的图形绕直线 y = x 翻转 180 而成, 故单调性、连续性仍保持.,设函数 y = f (x) 在区间 I 上严格单调增加,区间 I* = y | y =
11、f (x) , xI 上严格单调增加,(减少) 且连续.,定理 3,(反函数连续性定理),讨论复合函数的连续性,如果 y = f (u) 在 u0 处连续,则 , 当 | u u0| 时,有 | f (u) f (u0) | ,再假设 u = (x) , 且在 x0 处连续, 即,亦即,| u u0 | = | (x) (x0) | ,故 对上面的 , ,当 | x x0| 时, 有,则 , 当 | x x0| 时,| u u0 | = | (x) (x0) | ,且有（假设可以构成复合函数）,| f (u) f (u0) | f ( (x) f ( (x0) ) | ,有上面的推导, 你想到
12、了什么？,是关于复合函数的连续性定理？,怎么写出以上推导的结论 ?,自己想一想, 动手写一下.,设函数 u = (x) 在点 x0 处连续, 且,这个条件有必要吗？,定理 4,(复合函数连续性定理),u = cos x 1 是在定义域内,的定义域是一个孤立点集,D = x | x = 2k , kZ ,每一点均不连续.,在定理 4 的条件下,在定理4 的条件下, 极限符号可与连续函数 符号交换顺序.,推论,求,解,设函数 u = (x) 的极限存在：,函数 y = f (u) 在点 u = a 处连续.,复合函数 f ( (x) 当 x x0 时的极限存在, 且,若复合函数 f ( (x) 在
13、,内有定义, 则,定理 5,求,y = ln u 在其定义域内连续,故,（ y = ln u 在 u = 1 处连续）,解,由定理 5 容易得到下面几个幂指函数的极限公式：,函数 g(x)h(x) 称为幂指函数 , 它的定义域,一般应要求 g(x) 0.,时, 幂指函数 g(x)h(x) 也是连续函数.,当 g(x) 与 h(x) 均为连续函数, 且 g(x) 0,(3),(2),(1),四.初等函数的连续性,基本初等函数在其定义域内是连续的.,初等函数在其有定义的区间内连续.,注意两者的区别！,求,连续性给极限运算带来很大方便.,解,所以在其上是连续的.,解,处连续即可. 即应有,解此方程组得所求:,
