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1、Lecture 4,消费最优化,Consumers Decision,2,Topics to be Discussed,效用最大化 支出最小化 效用与支出的对偶 消费者均衡,3,效用最大化,任何人都希望最大化自己的效用而非最小，这是经济学的先验命题。从古典经济学、到新古典经济学，再到当代主流经济学，经济学家们无不接受、继承和发展这一命题，效用最大化问题得到了越来越深入的研究。,一方面，人们的欲望无止境，其需要没有满足的时候，经济学无法对如何满足人们无止境的欲望问题作出解释。 另一方面，任何人都处在一定的客观环境中，客观条件必然对人们的选择行为带来一定限制。比如，人们需要商品，但必须能够买得起。
2、 消费者受到的种种限制，虽然影响着选择，但也使得效用最大化问题有了解决途径服从约束条件的效用最大化。 理性消费者正是在服从种种条件限制的情况下, 选择自己最满意的消费方案。这就是效用最大化。,5,定理 在X 为下有界闭子集的情况下，对任何价格体系 p 0 及收入 r，预算集合 ( p, r) 都是有界闭集，从而是紧集。,证明：a = ( a1, a2, a)使得 x a 对一切 xX 成立( X 下有界)。令 bi = (r- pa + pi ai) / pi ( i = 1,2, ) 我们有：0 pi (xi ai) p (x a) r p a 对一切 x ( p, r)成立(p0& x a
3、)，故 pi xi r p a+ pi ai ( i = 1,2, )。可见， a x b = (b1, b2, b)，说明 ( p, r)有界。,从 又可知， ( p, r)是闭集。,1. 预算集合,预算集合是指由预算约束确定的消费选择范围，它是 X 的子集 ( p, r) = xX : p x r。,X,p x = r (预算线),(一) 预算约束,效用最大化, ( p, r),6,2. 最低生活保障,为了维护人民生活，国家建立最低生活保障制度。这项制度有利于社会稳定，有利于促进经济均衡。现在，我们先从预算集合角度，考察一下最低生活保障制度的含义。 为了保证消费者在收入限制下能选择到商品，
4、消费者收入就应不低于最低收入标准。所谓最低收入标准，是指在既定价格体系 p 下消费集合X 中的最低支出 I( p) = inf p x: xX 。最低生活保障制度是一种让收入 r 不低于 I( p) 的制度，条件 r I( p) 可叫做最低生活保障或最低收入条件或最低支出条件。,定理 设 X 为消费集合，p 为价格体系，r 为消费者收入。 如果 X 且 r I( p)，则预算集合非空，即 ( p, r) ； 如果 X 是非空下有界闭集，p0 且 r I( p)，则 ( p, r)是非空有界闭集 。,(一) 预算约束,效用最大化,7,效用最大化是指消费者在预算约束的限制下进行最满意的消费。马歇尔
5、从效用最大化出发，导出了消费者需求，即预算集合中消费者认为最好的消费方案消费者最终决定的消费方案，称为马歇尔需求(向量)，简称需求(向量)。 准确地讲，消费者(X , )在价格体系 p 和收入 r 下的(马歇尔)需求集合D( p, r)，是指( p, r)中最好的消费方案的全体，即D( p, r) = x( p, r): (z( p, r)( z x )。,(二) 马歇尔需求,证明：任意给定 x, yD( p, r)。既然 x 是 ( p, r)中最好的，而 y( p, r)，因此 y x；同理，x y。于是，x y。,定理 马歇尔需求集合中任何两种方案都无差异：(x, yD( p, r)(x
6、 y)。,无差异曲线, ( p, r),效用最大化,X,8,消费者效用最大化问题（UMP）,消费者偏好可用在消费集 Rn+ 上的一个严格递增且严格拟凹的效用函数表示；消费者面对的可行集表达为预算集。则消费者效用最大化问题被模型表示为：,如果 x* 是上述问题的解，则有：,UMP 的解称为马歇尔需求函数,9,举例：由CES效用函数求出马歇尔需求函数,已知不变替代弹性（CES）效用函数如下,10,马歇尔需求（Marshallian Demand）曲线,11,(四) 间接效用函数,普通效用函数定义在消费集上，直接代表消费者偏好，故也被称为直接效用函数；,效用最大化,对于 UMP，价格、收入与效用最大
7、值之间的关系可以被一个实值函数 v: Rn+ R+ R 定义：,12,间接效用函数：当偏好 是通过效用函数 u 来表达时，需求向量 ( p, r) 的效用值 u( ( p, r) 便代表消费者生活水平。这就确定了一个函数 ： 叫做消费者的间接效用函数。 间接效用是由价格和收入决定的消费者效用水平。 间接效用函数 反映了价格和收入同消费者的实际生活水平之间的关系，是代表实际生活水平的效用函数。,13,间接效用函数的性质,如果 u(x) 在 Rn+ 上是严格递增的，那么 v(p, y) 满足： （1）在 Rn+ R+ 上连续； （2）关于(p, y) 是零次齐次的； （3）关于 y 是严格递增的；
8、 （4）关于 p 是严格递减的； （5）关于 (p, y) 是拟凸的； （6）罗伊等式（Roys identity）：若 v(p, y) 在 (p0, y0) 处可微，且关于 y 的一阶偏导不为零，则：,14,证明：罗伊等式,方法：用包络定理。,根据约束条件下的包络定理，有,15,证明：罗伊等式,方法：用定理 1.8 .,由于,16,证明：罗伊等式,方法：用间接效用函数的定义式,由效用最大化问题的一阶条件,对预算约束条件两边关于 pi 、y 求导，分别得,17,(五) 应用事例,现在应用效用最大化理论来分析两个实际问题：所得税与销售税的比较，价格补贴发放办法比较。,效用最大化,问题1：销售税与
9、所得税哪一种对消费者更为有利？ 国家向居民征税有两种办法，一种是征收销售税，另一种是征收所得税。假定不论采取哪种办法，居民缴纳的税额是一样的。那么，哪一种征税办法对居民会更为有利一些? 问题2：涨价补贴对消费者是否有利？ 商品涨价，国家发放价格补贴。一种办法是控制价格，不许涨价，把价格补贴发给生产者。另一种办法是允许涨价，把价格补贴发给消费者。那么，哪一种补贴办法对消费者会更为有利一些？,为了分析这两个问题，设当前的市场价格体系为 p，消费者收入为 r，消费者的选择为 xD( p, r)。,18,x,1. 销售税与所得税的比较,效用最大化,(五) 应用事例,销售税：税率向量 t = ( t1,
10、 t2, t)，ti 为购买一单位商品 i 的税额。按 t 征收销售税，相当于价格从 p升为p+t，于是需求从 xD( p, r)变到 yD( p+t, r)，纳税额为 T = t y。注意， y ( p+t, r ) ( p, r)，故 y x。 所得税：把销售税改为所得税，直接从收入r中扣除销售税情况下的税额T = t y，则预算集合变为 ( p, r- T )，消费者选择变为 zD ( p, r- T )。,比较：易见，y( p, r- T )，故 y z。这说明，虽然纳税额相同，但征收所得税要比征收销售税对居民更为有利一些。,x,y,y,z,( p,r),( p,r),( p+t,r)
11、,( p,rT ),( p+t,r),19,2. 价格补贴发放办法的比较,效用最大化,(五) 应用事例,不许涨价：把补贴发给生产者，不许商品涨价。这种情况下，消费者的选择为 xD( p, r)。 允许涨价：把补贴发给消费者，允许商品涨价。假定涨价后，价格体系为q。消费者得到补贴后，收入从r 提高到s，需求向量从 x 变为 yD(q, s)。 补贴标准：补贴后，要保证消费者仍可以按照原来的方案进行消费，即补贴 = q x p x，也即 q x = s。,比较：x (q, s)，故 x y。这说明，“涨价 +补贴消费者”要比“不涨价 +补贴生产者”对消费者更为有利一些。,x,x,y,( p,r),
12、( p,r),(q,s),20,支出最小化,任何人都希望在生活水平不变的情况下，让自己的消费支出达到最小而非最大，这也是经济学中的一个先验命题。,支出最小化是这样一种经济现象：当消费者面临一种消费方案时，常常还要挑选同样的效用但支出更少的方案。这就是说，消费者首先确定一个效用水平，然后在不低于这个效用水平的前提下使消费支出达到最小。 准确地讲，支出最小化是指消费者在保证不降低生活水平的前提下，谋求消费支出达到最少。 希克斯从支出最小化出发，分析了消费者的选择，给出了今天称谓的希克斯需求概念。,21,(一) 支出约束,现在按照支出最小化的思路，来分析消费者的选择。假定消费者目前面临着一种可以选择
13、的消费方案为 xX ，商品的价格体系为 p。这样，消费方案 x 的支出便为 p x。 消费者是否选取 x 作为消费行动，取决于是否还有其他不比 x 差的可行消费方案 y能使支出( py)变得更少。如果这样的方案 y 存在，就不会选择 x。至于是否选择 y 作为行动方案，又取决于是否存在不比 x差而支出比 y还少的其他可行消费方案 z。,这种选择过程要一直进行下去，直至选不出其他不比 x 差而支出能进一步减少的可行方案。 可以看出，每次选择都在集合E(x) = yX : y x 中进行。该集合 E(x) 就称为消费者在方案 x 处的支出集合，条件“ yE(x)”叫做 x 处的支出约束。,支出最小
14、化,支出集合,x,E(x),X,pw=px,22,支出函数,面对在既定的价格集上获得的既定的效用水平，消费者必须付出的最低水平的开支是什么？ 我们将最小支出问题（EMP）表示为：,支出函数是一个极值函数，令 U 是可获得的效用的水平集，则支出函数的定义域为 Rn+ U ；,支出函数也可以写成：,EMP 的解称为希克斯需求：,23,支出最小的消费束,24,希克斯需求曲线,25,支出函数的性质,如果 u() 是连续且严格递增的，那么 e(p, u) 满足： （1）当 u 取 U 中的最低效用水平时，它为零； （2）在 Rn+ U 上连续； （3）对于所有的 p0，它严格递增且关于 u 无上界； （
15、4）关于 p 是严格递增的； （5）关于 p 是一次齐次的； （6）关于 p 是凹的； （7）谢泼德引理（Shephards lemma）：若在 (p0, u0) 处及 p0 时， e(p, u) 关于 p 是可微的，则：,26,证明：谢泼德引理,方法：用包络定理。,根据约束条件下的包络定理，有,27,方法：用支出函数的定义式,由支出最小化问题的一阶条件,注意到,，两边关于 p 求导，得,证明：谢泼德引理,28,证明：谢泼德引理,方法：,假设 x* 是价格为 p* 时达到效用水平 u 的成本最小的消费束，定义函数,容易知道，,29,对于一些效用函数是连续且严格递增的消费者而言，设 v(p, y
16、) 与 e(p, u) 是间接效用函数和支出函数，那么，对于所有的 p0 ， y0 与 uU，有：,间接效用函数与支出函数之间的关系,30,消费者需求的性质,主要内容 收入效应与替代效应 斯卢茨基方程 需求函数的一些条件 目的 掌握需求函数的性质与条件 熟悉斯卢茨基方程 掌握需求弹性及其它们之间的关系,31,二、收入效应与替代效应,在消费者行为模型中，一项重要工作是分析价格变化时应该预期需求量的反应； 价格变化的总效应（TE）包括替代效应（SE）和收入效应（IE）； 希克斯（1939）定义的替代效应：若相对价格变化到新的水平，而消费者可获得的最大化效用仍被保持在价格变化前的水平，那么，发生的这种（假说性的）消费的变化则是希克斯替代效应； 收入效应也被定义为总效应的剩余部分。,32,价格变动的 Hicks分解,33,设
