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1、第四节 中值定理与导数的应用,高等数学 02-04-01,一、中值定理,二、导数在求函数极限中的应用,高等数学 02-04-02,三、导数在判别函数单调性方面的应用,四、导数在求函数极值方面的应用,五、导数在求函数最值方面的应用,六、应用导数判别函数曲线的凹凸拐点,七、应用导数画函数的图像,罗尔(Rolle)定理 如果函数 y=f(x) 满足： （1）在闭区间 a,b 上连续； （2）在开区间 (a,b) 内可导； （3）f(b)=f(a)， 则在开区间 (a,b) 内至少存在一点 ，满足,高等数学 02-04-03,Lagrange中值定理的几何意义,高等数学 02-04-05,a,b,B,
2、f(a),f(b),C,D,A,y=f(x),推论1 若函数 y=f(x) 在区间 (a,b) 内的导数恒等于零，则函数 f(x) 在该区间 (a,b) 内是一个常数。,推论2 设函数 f(x) 和 g(x) 在区间 (a,b)内可导，且有 ，则 f(x) 与 g(x) 相差一个常数。,高等数学 02-04-06,例 验证Lagrange中值定理对函数 y=lnx 在区间 1,e 上的正确性，并求出定理适合的点 。,高等数学 02-04-07,高等数学 02-04-08,则,高等数学 02-04-09,则,高等数学 02-04-10,高等数学 02-04-11,推论 若当 仍为 型，且 和 满
3、足定理条件，则,高等数学 02-04-12,例 求极限,高等数学 02-04-13,例 求极限,例 求极限,高等数学 02-04-14,例 求极限,高等数学 02-04-15,例 求极限,高等数学 02-04-16,例 求极限,高等数学 02-04-17,课堂讨论题 求下列函数极限,（2）,（3）,高等数学 02-04-18,（1）,注,（1）罗必塔法则只适用于 和 型；,（2） 存在，且 ；,（3）是对分子分母分别求导，而不是对整个分式求导；,（4）当 不存在时，不能用罗必塔法则。,高等数学 02-04-19,极限求法,（1） 利用极限的运算法则和函数的连续性；,（2） 利用恒等变形后计算；
4、,（6） 利用罗必塔法则。,（5） 利用等价无穷小；,（3） 利用两个重要极限；,（4） 利用无穷小的性质；,高等数学 02-04-20,a,b,y=f(x),A,B,高等数学 02-04-21,a,b,y=f(x),A,B,高等数学 02-04-22,定理（函数单调性的判定） 设函数 y=f(x) 在闭区间 a,b 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，则 （1）若在 (a,b) 内 f (x)0，则函数 f(x) 在 (a,b) 内单调增加； （2）若在 (a,b) 内 f (x)0，则函数 f(x) 在 (a,b) 内单调减少。,高等数学 02-04-23,单调增加,单调减少,高等数学
5、02-04-24,确定函数单调区间的步骤：,（1）确定函数的定义域；,（2）求出定义域中一阶导数等于零及一阶导数不存在的点（按从小到大的顺序排列）；,（3）以这些点为端点，把定义域划分为若干个互不重叠的小区间，在这些小区间上，利用一阶导数的符号，进行判断。,高等数学 02-04-25,例 讨论函数 f(x)=2x39x212x3 的单调性。,高等数学 02-04-26,例 在血液循环系统中，血管内影响血液流动的阻力 R 是血管半径 r 的函数：,高等数学 02-04-27,（其中 为血液粘滞系数，L 为血管长度）。讨论当 r 在 0.011mm 范围内变化时，R 相应的变化情况。,这表明，对于
6、半径 r 较小的动脉，r 的变化，将引起较大的流动阻力 R 的改变；反之，对于半径 r 较大的动脉，r 的变化，所引起的流动阻力 R 的改变较小。人体就是用神经系统来控制和调节微小动脉的半径，改变其流动阻力，从而达到改善或控制某局部血液流动的快慢和血液的供应。,高等数学 02-04-28,例 若 x0，证明：ex1+x,高等数学 02-04-29,课堂讨论题 讨论函数 f(x)=xlnx 的单调性。,高等数学 02-04-30,A,B,C,D,y=f(x),a,b,高等数学 02-04-31,极大值(maximum) 设函数 f(x) 在点 x0 的某邻域内有定义，若对该邻域内任意的 x(xx
7、0)均有 （1）f(x0)f(x) 成立，则称 f(x) 在点 x0 取得极大值 f(x0)； （2）f(x0)f(x) 成立，则称 f(x) 在点 x0 取得极小值 f(x0) (minimum)。,高等数学 02-04-32,极值(extreme value) 函数的极大值与极小值，统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为函数的极值点(extreme point)。,高等数学 02-04-33,注 （1）极值是一个局部的概念； （2）极大值并不一定比极小值大； （3）极值与极值点是两个不同的概念：极值是指函数的一个值，而极值点是指自变量所取的一个值。,高等数学 02-04-34,定理（极值
8、存在的必要条件） 如果函数 y=f(x) 在点 x0 取得极值，且 f (x0) 存在，则 f (x0)=0。,高等数学 02-04-35,驻点(critical point) 导数为零的点称为驻点。,高等数学 02-04-36,定理（第一充分条件） 设函数 f(x) 在点 x0 的邻域内可导，且 f (x0)=0 或 f (x0) 不存在，当自变量 x 由小变大经过 x0 时： （1）f (x) 符号由负变正，则 f(x) 在 x0 点处有极小值 f(x0 )； （2）f (x) 符号由正变负，则 f(x) 在 x0 点处有极大值 f(x0)； （3）f (x) 的符号不变，则 f(x) 在
9、 x0 点处无极值。,高等数学 02-04-37,x0,x0 是极大值点,f(x0) 是极大值,f (x0)=0,f (x)0,f (x)0,高等数学 02-04-38,x0 是极小值点,f(x0) 是极小值,x0,f (x0)=0,f (x)0,f (x)0,高等数学 02-04-39,求可导函数 y=f(x) 极值的步骤：,（1）确定函数 y=f(x) 的定义域；,（2）求出导数 f (x)；,（3）求出函数的全部驻点及导数不存在的点；,高等数学 02-04-40,（4）考察 f (x) 在每个点左、右邻近的符号，从而确定此点是否是极值点；,（5）求出相应的极值。,高等数学 02-04-4
10、1,例 求函数 f(x)=2x39x212x3 的极值。,高等数学 02-04-42,定理（第二充分条件） 设函数 f(x) 在点 x0 处有二阶导数，且 f (x0)=0，那么： （1）若 f (x0)0，则 f(x0) 为极小值； （2）若 f (x0)0，则 f(x0) 为极大值； （3）若 f (x0)=0，则不能判定 f(x0) 是否为极值。,高等数学 02-04-43,例 求函数 f(x)=2x39x212x3 的极值。,高等数学 02-04-44,注 （1）极值为函数的“局部”特性。,（4）遇到一阶导数不存在的点或驻点的二阶导数为零，只能用第一充分条件来判断。,高等数学 02-0
11、4-45,（2）可导函数的极值点必定是驻点；反之，驻点并不一定是极值点；,（3）一个函数在导数不存在的点处，也有可能取得极值；,求极值的方法,（2）求出一阶导数等于零或不存在的点；,（3）用第一充分条件或第二充分条件来判别这些点是否为极值点，是极大值点还是极小值点；,（4）求出极大值点和极小值点的函数值，即得函数的极大值和极小值。,（1）确定函数 y=f(x) 的定义域；,高等数学 02-04-46,求出函数 f(x) 在闭区间 a,b 上的所有极值点的函数值，以及端点处的函数值 f(a) 和 f(b)，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。,求最值的方法,高等数学 02-04-47,例 求
12、函数 f(x)=2x39x212x3 在闭区间 0,3 上的最大值和最小值。,高等数学 02-04-48,注 （1）在闭区间上单调增加的连续函数，其最小值必在区间的左端点取得；最大值必在区间的右端点取得。如果函数是单调减少的，则与此相反；,（2）如果连续函数在闭区间内只有一个极值，则它若是极大值便是最大值，它若是极小值便是最小值。,高等数学 02-04-49,y=f(x),a,b,x0,y=f(x),a,b,x0,高等数学 02-04-50,（3）实际问题中，若可导函数在某一区间有唯一的驻点，则该点就是最值点。是最大值还是最小值要看实际问题是求最大值还是求最小值。,高等数学 02-04-51,例 按 1mg/kg 的比率给小鼠注射磺胺药物后，小鼠血液中磺胺药物的浓度可用下面的方程表示,其中 y 表示血液中磺胺药物的浓度(g/100L)，t 表示注射后经历的时间(min)。问 t 为何值时，小鼠血液中磺胺药物的浓度 y 达到最大值？,高等数学 02-04-52,凹的(concave) 如果在某区间内曲线位于每一点处切线的上方，则称此曲线在该区间内是凹的；如果在某区间内曲线位于每一点处切线的下方，则称此曲线在该
