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1、,微积分学，无穷级数论和作为理论基础的极限理论我们这门课程叫高等数学，它的内容包括一元和多元，以及作为一元微积分学的简单应用常微分方程。由于构成它的主体是一元函数微积分学，所以有时又称为微积分。,17世纪（1763Descartes建立了解析几何，同时把变量引入数学，对数学的发展产生了巨大的影响，使数学从研究常量的初等数学进一步发展到研究变量的高等数学。微积分是高等数学的一个重要的组成部分，是研究变量间的依赖关系函数的一门学科，是学习其它自然科学的基础。,高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。那么高等数学用什么方法研
2、究函数呢？这个方法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志。,由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：,概念更复杂,理论性更强,表达形式更加抽象,推理更加严谨,因此在学习高等数学时，应当认真阅读和深入钻研教材的内容，一方面要透过抽象的表达形式，深刻理解基本概念和理论的内涵与实质，以及它们之间的内在联系，正确领会一些重要的数学思想方法，另一方面也要培养抽象思维和逻辑推理的能力。,学习数学，必须做一定数量的习题，做习题不仅是为了掌握数学的基本运算方法，而且也可以帮助我们更好地理解概念、理论和思想方
3、法。但我们不应该仅仅满足于做题，更不能认为，只要做了题，就算学好了数学。,高等数学中几乎所有的概念都离不开极限，因此极限概念是高等数学的重要概念，极限理论是高等数学的基础理论，极限是高等数学的精华所在，是高等数学的灵魂。因此很好地理解极限概念是学习好微积分的关键，同时也是从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯。,参 考 书 目,工科数学分析基础,马知恩 等编 （高教出版社）,高等数学释疑解难,工科数学课委会编（高教出版社）,高等数学辅导,盛祥耀 等编（清华大学出版社）,高等数学解题方法及同步训练,同济大学编（同济大学出版社）,第一章 函数与极限,1.1 函 数,1.集合 集合(简称集): 集合是
4、指具有某种特定性质的事物的总体。集合用A，B，M等表示。 元素: 组成集合的事物称为集合的元素。a 是集合M的元素表示为aM。 集合的表示: (1) A=a, b, c, d, e, f, g。 (2) M=(x, y) | x，y为实数，x2+y2 =1。,一、集合及其运算,几个数集: R表示所有实数构成的集合，称为实数集。 Q表示所有有理数构成的集合，称为有理集。 Z表示所有整数构成的集合，称为整数集。 N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集。,子集: 若xA，则必有xB，则称A是B 的子集, 记为AB（读作A包含于B）。 显然，N Z ，Z Q ，Q R 。,2. 区间:,数集x|a
5、xb称为开区间，记为(a, b)，即 (a, b)=x|axb。,a, b=x|axb称为闭区间。,a, b)=x|axb及 (a, b=x|axb称为 半开区间。,上述区间都是有限区间，其中a 和 b 称为 区间的端点，b-a 称为区间的长度。,以下区间称为无限区间：,a, +) = x|ax，,(-, b = x|xb，,(a, +) = x|ax，,(-, b) = x|xb，,(-,+),= R,3. 邻域: 以点 a 为中心的任何开区间称为点 a 的邻域，记作U(a)。 设0，则称区间(a-, a+)为点a 的邻域，记作U(a, )，即 U(a, ) =x|a-xa+ =x| |x-
6、a|。 其中点 a 称为邻域的中心, 称为邻域的半径。,去心邻域:,(a,) =x |0| x-a |。,还有一些量在过程中是变化着的，也就是可以取 不同的数值，这种量叫做变量。,1. 常量与变量 在观察自然现象或技术过程时，常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化始终只取同一数值，这种量叫做常量。,二、函数的概念,2. 举例 圆的面积的计算公式为A=pr2，半径r可取(0, +)内的任意值。,3. 函数的定义 设 D 是一个给定的数集。如果对于每个数xD，变量 y 按照一定法则总有确定的数值和x对应，则称 y 是 x 的函数，记作y=f(x)。 定义中，数集D叫做这个函数的定义域，
7、x叫做自变量，y叫做因变量。,函数符号: 函数y=f(x)中表示对应关系的记号f 也可改用其它字母，例如j 、F 等。此时函数就记作y=j(x)，y=F(x)。,值域：Rf=y | y=f(x),xD。,定义域： 在数学中，有时不考虑函数的实际意义，而抽象地研究用算式表达的函数。这时约定函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。,函数值： 任取 xD，与 x对应的 y的数值称为函数 y=f(x)在点 x处的函数值，记为 f(x)。,求函数的定义域举例：,解: 要使函数有意义, 必须x0, 且x2-40。 解不等式得|x|2。 函数的定义域为 D=x| |x|2, 或D=(-, -
8、22, +)。,4. 函数的图形 在坐标系xOy内，集合 C=(x, y) | y=f(x)，xD 所对应的图形称为函数y=f(x)的图形。,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。 以后凡是没有特别说明时，函数都是指单值函数。,5. 函数举例 例1. 在直角坐标系中，由方程x2+y2=r2确定了一个函数。 对于任意x(-r, r)，对应的函数值有两个：,例2. 函数 y=2。 函数的定义域为D = (-, +)。 函数的值域为Rf =2。 函数的图形为一条平行于x 轴的直线。,函数的定义域为D=(-, +)。 函数的值域为Rf =0,
9、 + )。,称为绝对值函数。,例3. 函数,函数的定义域为D=(-, +)。 函数的值域为Rf =-1, 0, 1。,例5.函数y=x称为取整函数,任给x, x取值为不超过x的最大整数, 即x -1x x 。,函数的定义域为D=(-, +)， 函数的值域为Rf =Z,函数的定义域为 D=0, 1(1, +)=0, +)。,f (3) = 1+3 = 4。,三、函数的几种简单特性,图形特点： y=f(x)的图形在 直线y=K1的下方。,y=K1,y=f(x),1. 函数的有界性 设函数f(x)在数集X上有定义。如果存在数K1，使对任一xX，有f(x)K1，则称函数f(x)在X上有上界，而称K1为
10、函数 f(x)在X上的一个上界。,如果存在数K2，使对任一xX，有f(x)K2，则称函数f(x)在X上有下界，而称K2为函数f(x)在X上的一个下界。,图形特点：函数 y=f(x) 的图形在直线 y=K2 的上方。,y=K2,y=f(x),有界函数的图形特点： 函数y = f(x)的图形在直线y = - M和y = M的之间。,如果存在数 M,使对任一 xX，有 | f(x) |M， 则称函数f(x)在X上有界；如果这样的M不存在，则称函数f(x)在X上是无界函数，就是说对任何M，总存在 x1X，使|f(x)|M。,函数的有界性举例：,f(x) = sin x在(-, +)上是有界的： 即|
11、sin x | 1。,函数f(x)=1/x在开区间(0,1)内是无界的。,无界函数举例：,函数f(x) =1/x在(0, 1)内有下界，无上界。 这是因为，任取M1，总有0M，所以函数无上界。,但此函数在(1, 2)内是 有界的。,2. 函数的单调性,如果对于区间I上任意两点x1及x2，当 x1x2时，恒有,则称函数f(x)在区间I上是单调减少的。,f(x1) f(x2)，,单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。,设函数f(x)的定义域D关于原点对称。如果对于任意的xD，有f(-x)= f(x)，则称f(x)为偶函数。,3. 函数的奇偶性,偶函数举例： y=x2， y=cos x 都是偶函数
12、,偶函数的图形关于y轴对称。,奇函数举例： y=x3， y=sin x 都是奇函数。,如果对于任意的xD，有 f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。奇函数的图形关于原点对称。,设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个不为零的数 l ，使得对于任一xD有(xl)D，且 f(x+l) = f(x)，则称f(x)为周期函数，l 称为f(x)的周期。 周期函数的图形特点：,4. 函数的周期性,四、反函数与复合函数,对于任一数值 yW，D上可以确定唯一数值 x 与 y 对应，这个数值 x 适合关系 f(x)=y。,如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按照函数的定义就得到一个新的函数，这个新函数
13、称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=f -1(y)。,1. 反函数 设函数y=f(x)的定义域为D，值域为W。,单调函数存在反函数.,什么样的函数存在反函数？,在数学中，习惯上自变量用x表示，因变量用y 表示。按此习惯，我们把函数 y=f(x)的反函数x=f -1 (y)改写成y= f -1 (x)。,反函数的图形： 反函数的图形与直接函数的图形关于直线y = x对称。,关于反函数的变量符号：,例 函数 y= 表示 y是 x的函数，它的定义域为 -1，1,2复合函数,对于任一 x -1，1，先计算 u=1-x2，然后再计 算 y= ，这就是说函数 y= 的对应法则是由函 数u=1-x2和y
14、= 所决定的，我们称函数 y= 是 由函数u=1-x2和y= 复合而成的复合函数，变量 u称 为中间变量,设 u=1-x2，则函数 y= 的值可以按如,下方法计算：,复合函数的定义：,一般地，设函数y =f(u)的定义域为D1，函数u=j(x)在数集D2上有定义，如果 u | u= j(x)， xD2 D1 则对于任一 xD2，通过变量u能确定一个变量y的值，这样就得到了一个以x为自变量、y为因变量的函数，这个函数称为由函数 y =f(u)和u=j(x)复合而成的复合函数，记为y =f j(x) ，其中定义域为D2，u称为中间变量,复合而成的其中u， v 都是中间变量,函数y= 可看作是由y=
15、 ，u=1+v2，v=lnx,函数y= ，u=cot v，v= 经复合可得函数,问：函数y=arcsin u与u=2+x2能构成复合函数吗？,y =,例 函数y=arctan x2可看作是由y=arctan u和u=x2 复合而成的,五、初等函数,1. 幂函数,函数 y=xm （m 是常数）叫做幂函数 幂函数的定义域：与常数m 有关，但函数在（0，+）内总有定义 最常见的幂函数：,常用的指数函数为 y=ex.,2指数函数 函数 y=ax (a是常数，且a0，a 1)叫做指数函数 指数函数的定义域：D=（- ，+ ） 单调性： 若a1，则指数函数单调增加； 若0a1，则指数函数单调减少,3对数函
16、数 指数函数y=ax的反函数叫做对数函数，记为y=logax(a0，a 1) 对数函数的定义域是区间(0，+ ) 自然对数函数：y=ln x=loge x.,常用的三角函数有： 正弦函数： y=sin x,1,-1,y=cos x,余弦函数： y=cos x,4三角函数,正切函数： y=tan x,余切函数： y=cot x,反三角函数是三角函数的反函数.,反正弦函数： y=arcsin x， 定义域为-1，1.,反余弦函数：y=arccos x 定义域为-1，1,5反三角函数,反正切函数： y=arctan x, 定义域为(- ， ).,其值域规定为(0，p),反余切函数： y=Arccot x，,定义域为(- ， +).,6基本初等函数与初
