《各类型中高难度全等三角形125题(答案版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《各类型中高难度全等三角形125题(答案版)（78页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 1.已知：如图，ABDE，ACDF，BECF 求证：ABDE 【答案】ABDE，BDEF ACDF，FACB BECF，BEECCFEC即BCEF ABCDEF，ABDE 2.图中是一副三角板，45的三角板Rt DEF的直角顶点D恰好在30的三角板 Rt ABC斜边AB的中点处，304590AEEDFACB ，DE交 AC于点G，GMAB于M （1）如图 1，当DF经过点C时，作CNAB于N，求证：AMDN （2）如图 2，当DFAC时，DF交BC于H，作HNAB于N， （1）的结论仍 然成立，请你说明理由 【答案】 3090AACB ，D是AB的中点，BCBD，60B BCD 是等边三角
2、形 又CNDB， 1 2 DNDB， 90EDF，BCD是等边三角形 30ADG，而30A，GAGD GMAB， 1 2 AMAD 又ADDB，AMDN DFAC，30BDFA ，90AGDGDH ， 60ADG 60B，ADDB， ADGDBH，AGDH， 又BDFA ，GMAB，HNAB， AMGDNHAMDN 3.在正方形ABCD中，AB、BC、CD三边上分别有点E、G、F， 且EFDG 求 证：EFDG F E D C B A 图2图1 E H AB C D F G MN NM G F E D C BA 2 【答案】 过点C作EF的平行线， 交AB于M 易知CMEF 从而证的BCMCD
3、G， 从而有DGCM，故EFDG 4.在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的点，且 EGFH，求证：EGFH 【答案】过点E作EMCD，过点F作FNAD，垂足分别为M、N 由EMCD，FNAD，EGFH，易得MEGNFH 因为EMBC，BCCD，CDNF，所以EMNF 故EMGNFH，所以EGFH 5.ABC中，90B，M为AB上一点，使得AMBC，N为BC上一点，使得 CNBM，连AN、CM交于P点试求APM的度数，并写出你的推理证明的 过程 【答案】APM的度数为45 证明过程如下： 如图过点M作AB的垂线MD，使MDCN，连接DA、DN， 于是因为MDCN且
4、MDCN，所以四边形MDNC是平行四边形 从而MDNMCN ， 又因为CNBM，得到DMBM，进而在MDA与MBC中， 90 DMBM DMAMBC MABC ， G F E D CB A M G F E D CB A H G F E D CB A G F EM NHD CB A N M P CB A 3 所以DMAMBC， 这样DAMC，而MCDN， 所以DNDA 又因为ADNADMMDN ADMDAM 90， 所以得到ADN是一个等腰直角三角形， 所以45AND，利用MCDN，从而得到45APMAND 6.6.如图，在Rt ABC中，ABACADBC，垂足为DEF、分别是CDAD、上 的点
5、，且CEAF如果62AED，那么DBF_ 【答案】28 7.E、F分别是正方形ABCD的BC、CD边上的点， 且BECF 求证：AEBF 【答案】在ABE和BCF中 ABBC ABEBCF BECF ABEBCFBAECBF 90BAEAEB 90CBFAEB AEBF 8.E、F、G分别是正方形ABCD的BC、CD、AB边上的点，GEEF，GEEF 求 证：BGCFBC 【答案】显然，BEGCFE， P D M NBC A F ED CB A P F E D C B A G A B C D E F 4 BGCE，BECF BGCFBC 9.如图，矩形ABCD中，E是AD上一点，CEEF交AB
6、于F点，若2DE ，矩 形周长为16，且CEEF，求AE的长 【答案】FEEC，90AEFDEC 90AEFAFE ， AFEDEC 在三角形AFE与DEC中，FECE，90AD ， AFEDEC ， AFEDEC AEDC 矩形周长为16， 8ADDC ADAEDE， 且2DE 28AEDE 即3AE 10.10.如图，已知ABC中，90ABCABBC，三角形的顶点在相互平行的三条直 线 123 lll， ，上， 且 12 ll，之间的距离为2，2 3 ll，之间的距离为3， 则AC的长是_ 【答案】2 17 11.两个全等的30、60的三角板ADE、BAC，如右下图所示摆放，E、A、C在
7、一条直线上， 连结BD 取BD的中点M， 连结ME、MC， 试判断EMC的形状， 并说明理由 【解析】判断EMC是等腰直角三角形理由： 如图，连结AM E D CB F A C B A l3 l2 l1 M E D C B A 5 30DAE，60BAC，90DAB ADEBAC，ADAB 又M是BD的中点，AMDMBM 45ADMMAB 6045105EDMEDAADM 4560105MACMABBAC EDMMAC EDCA，EDMCAM EMCM，DMEAMC 而90DMEEMA ，90AMCEMA 即90EMC，EMC是等腰直角三角形 12.已知等腰直角三角形ABC，C为直角，M为BC
8、的中点CDAM求证： AMCDMB 求证：AMCDMB 【答案】法一：如图，过B作EBBC，交CD延长线于E 3190 ，4190 ，34 又ACCB，RtRtCBEAMC，BECM，51 又BMCM，BEBM 90MBDEBD ，而45MBD，EBDMBD 又BD为公共边，BEDBMD52 解法二：如图，作底边AB的高CE交AM于F，则CE亦为中线和角平分线， D M B CA E M D C B A 5 4 3 2 1 M B A E D C 6 AECEBE 又3490CDECDE 34 ，RtRtDCEFAE， 2 1 AMCE CMAC ，45EDFB ，故 DFBC 又E、M为AB
9、、BC的中点，连接EM，则EMAC ACBC，EMBC，故EMDF EM为DF的中垂线FMEDME 而1290FMEDME ，12 解法三：如图，作CGAG的平分线CF交AM于F， 则45ACFMCF ，即45ACFCBD ACBC，CDAM， 90CAFCMFBCDCMF 1 2 BM AC 又BCAD ，ACFCBDCFBD 又CMBMMCFMBD ， CFMBDMFMCDMB 解法四：如图，过D作DGCB 45B， DGBG 90DCGAMCFACAMC ， DCGFAC DCGMAC 1 2DG CGCMAC，则1 2BG CG DGAC， 1 2BD AD ，而1 2BMAC ，BC
10、AD BMDACD， BMDACD 而ACDAMC ， B AD C 4 3 2 1 F E M BAD C M F M ADB C G 7 AMCBMD 解法五：如图，延长CB到E，使BEBC连接AE，延长CD交AE于G，则 ACBCBE， 2 1 AMCE CMAC RtRtACMECACAME 90CAMACF ，90GCEACF ， CAMGCE 即GCEE CGGE 90CAEE ，90ACGGCE ， CAEACG ，CGAG，从而AGGE 又BCBE，所以D为AEC的重心， 1 2 BD AD 而 1 2 BM AC ，BCAD BMDACD，BMDACD 而AMCACF ，BM
11、DAMC 解法六：如图，过A作AHAM，与BC的延长交于H 1290 ，190AMC ， 2AMC ， RtRtAHCMAC，2 HCAC ACMC 而ACBC，2 HC BC HACD，2 ADHC BDBC 又2 AC BM ，CADB ， ADCBDM， M B A G F E D C M B A F D C H 8 ACDBMD 而AMCACD ，AMCBMD 解法七：如图，过D作DEBM，垂足为E 90CAMCMA ，90ECDCMA ， CAMECD ， RtRtCAMECD， 1 2 DEMC CEAC 45B，90DEB，DEBE， 1 2 BE CE 设MExCMBEa， 1
12、 2 ax ax ， 3 a x 2 33 aa DEBEa， 1 2 MEMC DEAC ， RtRtCAMEDM， AMCBMD 13.如图所示，已知在等腰直角三角形ABC中，BAC是直角，D是AC上一点， AEBD，AE的延长线交BC于F， 若ADBFDC ， 求证：D是AC的中点 【答案】过C作CH垂直于AC交AF延长线于H点； 易证ABDAHC，HCAD；进而证明FHCFDC，得到HCCD，则D 为AC中点 14.如图所示，在等边ABC中，DEBC，O为ADE的中心，M为BE的中点， 求证OMCM M ADB C E F E D C B A H F E D C B A 9 【答案】如
13、图所示，延长OM至点N，使OMMN，连接OA、OE、OC、BN、CN 因为OMNM，BMME，OMENMB ， 故BMNEMO，则BNEO，OEMNBM 因为DEBC，则DEBCBE ，OEDCBN 因为O为ADE的中心，则OAOEBN，30OAEOEDCBN 因为ACBC，故AOCBNC，从而OCCN 因为OMMN，故OMCM 【点评】如果具备三角形相似的知识，我们就可以采取下面的解法 如图所示，取AE的中点N，连接MN、OA、ON、OC 因为O为ADE的中心，故30OAN，2OAON 因为ANNE，BMEM，故2ABMNAC 因为ONAC，MNAB，故60MNE， 因为30ONM，故OAC
14、ONM，OMNOCN ，则O、M、C、N四 点共圆 因为ONAC，故OMCM 15.已知P为等腰直角ABC的斜边AB上任意一点，PE、PF分别为AC、BC之垂 线，垂足为E、FM为AB之中点则E、M、F组成等腰直角三角形 【答案】解法一： 如图，连接CM，则CM为AB之中线，亦为AB之高 M CB A ED O N M C B A E D O N M CB A E D O M P F E CB A 10 90CMA 90PECPFCECF ， ECFP为矩形，故PECF 又45A， AEP为等腰直角三角形，AEPEAECF 又CMAM，45MCFA ， AEMCFM， AMECMF ，EMFM
15、 90CMEAME ， 90CMECMF ，即90EMF EMF为等腰直角三角形 解法二： 如图，由M作MEAC ，MFBC ，则显然由于M为AB之中点，ACBC， ACBC， ME CF为正方形，故MEMF 又设 ME 交PF于Q， 则PEAC，PFBC， 90EPFC 而90PEEEE Q EE QP为矩形，故EEPQ 同理FFQM 又PFAC，45QPMA PQM为等腰直角三角形， PQQM，故EEFF 又MEMF，90EE MFF M EE MFF M， EMEFMF ，EMFM 又90E MFFMF ， 90E MFEME 即90EMF，故MEF为等腰直角三角形 解法三：如图，延长F
16、M到Q，使MQFM，连接AQ P M B A F E C P M B A F E CF E Q 11 AMBM， A、F、B、Q4点组成平行四边形 AQFB，AQFB 又BCAC，AQAC， 90QAEFCE 又PFBC，45B，FPFB同理EPAE ECFP为矩形， FPCE，EPCF，故AB而CMAB， AQCE，AECF RtRtAEQCFE EQFE，AQECEF ，QEAEFC 90AQEQEA ， 90CEFQEA 故2 PF QF FEQ为等腰直角三角形而M为底边之中点，所以EMF亦为等腰直角三角 形 解法四： 如图， 连接CM， 则因为M为AB之中点， 所以CMAB，CM平分ACB， 即45MCB由F向MB引垂线FQ，向CM引垂线 FF ，显然F FQM为矩 形则
