《数学分析》第二章 极限与连续

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1、第二章 极限与连续一、本章知识脉络框图数列极限的定义 收敛数列的基本性质收敛数列极限的计算柯西准则判定极限是否存在一元函数极限的定义 一元函数极限的基本性质一元函数极限的计算连续函数的定义和性质归结原则海涅定理二元函数极限的定义 二元函数极限 的基本性质二、本章重点及难点（一）重点：极限的定义与性质、数列极限和一元函数极限的计算、两个重要极限的运用、归结原则、柯西准则以及有界闭集上连续函数的性质.（二）难点运用柯西准则和归结原则进行证明、理解多元函数重极限与累次极限的概念、有界闭集上连续函数的性质以及一致连续性.三、本章的基本知识要点本章符号说明：每一个或任给的；:至少有一个或存在；：充分必要

2、条件.（一）数列极限1. 数列极限定义当 时，有lim0,naNn.na注：定义中的 可不取整数， 可以是Nna.na定理：增加、改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的收敛性和极限. 重排不改变数列敛散性. 数列极限的等价定义:(1) 当 时有 其中 为某个正数. 0,Nn,nak(2) 当 时有 其中 与 为某个正数. c ck2. 收敛数列的性质(1) 唯一性定理：每个收敛的数列只有一个极限.(2) 有界性定理：收敛的数列必定有界. (3) 保号性定理：若 则对任意 有 limna,(),ra或 Nn,nar(或 ).nar(4) 保不等式性定理：若 都存在，且 则li,limnb,nb有

3、 ，limli.nnb(5) 迫敛性定理：设 数列 满足： 有 lili.nnanc,N则数列 收敛，且nnac， ncc(6) 四则运算法则：lim,li,)();il),0,.nnnnnababb设 则 其 中(7) 与子列的关系：数列 收敛 数列 的任何非平凡子列都收敛 .nana3. 数列极限存在的条件递增数列： 121n ；递减数列： aa .(1) 单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限.(2) 柯西收敛准则： 0,|.nmNa （二）函数极限1. 函数极限和非正常极限概念函数极限定义(通过对比加以理解)：(1) lim()0,().xfAkxkfxA 当 时 恒 有(2

4、) 当 时 恒 有(3) li(),().xfkxkfx 当 时 恒 有(4) 0 00,).AfA当 时 恒 有(5) 0lim(), (xf xx 当 时 恒 有(6) 0 0,).f当 时 恒 有上述左极限 和右极限 也可以写成 和 .0li()xf0lim()xf0(fx0(x定理： 0 .Af A非正常极限定义（只列出 2 个，其余可以类似写出）：(1) 0lim()xf00,|,().MxfxM当 时 恒 有(2) |,.kkf当 时 恒 有2. 函数极限的基本性质下面只以 为代表来说明，其余类型极限的性质可以类似写出. 0li()xf(1) 唯一性定理：若 存在,则极限唯一.0l

5、im()xf(2) 局部有界性定理：若 存在，则 在 的某个空心邻域 内有界.0 ()fx00()Ux(3) 局部保号性定理：若 则 (或 ), 当0li,xArA,时，有 (或 ).0(,)xU)fxr)fr(4)保不等性定理:设 与 都存在，且在某邻域 内有0limx0li(xg0(;)Ux则(),fxg00li()().xf(5) 迫敛性定理：设 且在某邻域 内有00lilim(), xxfA0(;)x 则()(),fxhgx0lim().xhA(6) 四则运算法则： 0000li(),li(),1) ;(2lim()3),0.xxxfBgfABg设 则 其 中3.函数极限存在的条件(1

6、) 归结原则（也称为海涅定理）：设 在 内有定义. 存在()fx0(;)U0lim()xf任意含于邻域 且以 为极限的数列 极限 存在且相等.0(;)Ux0,nli(nf(2) 柯西准则： 设函数 在邻域 内有定义. 存在f0(;)x0)x,正数 有(),0(;),x|.ff4. 两个重要极限(1) 0sinlm1.x(2) i()xe由归结原则得 li().nn5. 无穷小量与无穷大量(1) 无穷小量定义：i) 设函数 在某邻域 内有定义. 若 则称 为当()fx0(;)Ux0lim()xf， ()fx时的无穷小量. 0xii) 设函数 在某邻域 内有界，则称 为当 时的有界量.()gx0(

7、;)x()gx0x由无穷小量的定义可知，两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量；无穷小量与有界量的乘积为无穷小量(2) 定理： 其中 是当 时的无穷小.0lim()()(),xfAfx()x0x(3) 无穷小量阶的比较无穷小量是以 0 为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于 0 的速度有快有慢若无穷小量 与 满足 ，则称当 时 为 的高阶无穷小量，fg0limxf0xfg为 的低阶无穷小量，记作 （ ）特别， 为当 时的gf fgf0x无穷小量，记作 （ ）()1f0若存在正数 和 ，使得在某邻域 上有 ，则称无穷小量 与KLUx()fxKLgf为当 时的同阶无穷小量特别当 时， 与

8、 必为同阶无穷小g0x0lim()xfcf量若无穷小量 与 满足 ， ，则记作fg()fLx0U特别，若 在某 内有界，则记为 （0( .fxOf0x1fxO）甚至当 时，也有 （ ）00()fofg0若无穷小量 与 满足 ，则称 与 为当 时的等价无穷小量，g0lim1xffg0记作 （ ）fx应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较例如，当 时，x和 都是无穷小量，但它们的比1sinx2= 或 =2i1sinx21sinx当 时都不是有界量，所以这两个无穷小量不能进行阶的比较0x下述定理表明了等价无穷小量在求极限问题中的作用定理： 设函数 ， ， 在邻域 内有定义，且有fgh0

9、Ux（ ）fxg0x) 若 ，则0limfA0lim;xghA) 若 ，则 0lixhBf0li.xB(4) 无穷大量定义：对于自变量 的某种趋向（或 时），所有以 、 或 为非正常极xn限的函数（包括数列），都称无穷大量定理：)设 在 内有定义且不等于 0若 为当 时的无穷小量，则f0Uf0x为当 时的无穷大量1f0x)若 为当 时的无穷大量，则 为当 时的无穷小量g0x1g0x由上述定理，对无穷大量的讨论可归结为无穷小量的研究（三）一元函数的连续性1. 函数在点 连续的定义: 设函数 在 的某邻域内有定义. 若0xfx0则称函数 在 点连续.0lim,xfff0若记 ，则 的等价叙述为0x

10、yx00limxffx，于是函数 在 点连续的定义又可以写成:0lixyf0定义: 设函数 在 的某邻域内有定义. 若 ,则称 在 点连续.x0lixyfx0改用 语言叙述，则 在 点连续可以定义为：f0x定义: 设函数 在 的某邻域内有定义. 若对 ， 使得当f0 时，都有 则称 在 点连续.0xxf， f0x2. 函数在点 左、右连续的定义0相应于在 的左、右极限的概念，我们给出左右连续的定义如下：定义: 设函数 在 的某左（右）邻域内有定义. 若 （或fx0 00limxffx）, 则称 在 左（或右）连续.00limxff0x定理: 函数 在 点连续 在 点既左连续又右连续.fx0f0

11、与上述定理等价的否定叙述：定理: 函数 在 点不连续 在 点或不左连续或不右连续.f0fx03. 函数的间断点（不连续点）及其分类定义：设函数 在某领域 内有定义. 若 在点 无定义，或在点 有定义f0Uf0x0x但不连续，则称点 为函数 的间断点或不连续点.0xf由连续的定义知，函数 在 点不连续必出现如下 3 种情形之一:fx0i） ，而 在点 无定义，或有定义但 ；0lmxfA 0 0limxfAfxii） 左、右极限都存在，但不相等；iii） 左、右极限至少一个不存在.据此，函数 的间断点可作如下分类：fxi） 可去间断点若 （存在），而 在点 无定义，或有定义但0lmxfAf0x，则

12、称 为可去间断点（或可去不连续点）. 0 0lixx0ii） 跳跃间断点若 的左、右极限都存在，但不相等（即 与 均存0)(f在 点 0()fx0()fx在，但 ），则称 为 的跳跃间断点.0()xf0xf注：可去间断点与跳跃间断点统称 的第一类间断点.)(iii） 第二类间断点若 与 至少有一个不存在，则称 为 的第二类间断点.0()fx0()fx0x)(f定义: 若函数 在区间 上每一点都连续，则称 为 上的连续函数. 对于区I I间端点上的连续性，则按左、右连续来确定.定义: 如果 在区间 上仅有有限个第一类不连续点，则称函数 在区间)(xf,ab )(xf上按段连续.,ab4. 连续函

13、数的性质局部有界性定理: 若函数 在 点连续，则 在 点的某邻域内有界. )(xf0)(xf0局部保号性定理: 若函数 在 点连续，且 (或 )，则对0fx(或 )， 某邻域 当 时，有 (或 ).0,U0 f四则运算性质： 若函数 在区间 上有定义，且都在 连续，则fxgI0I（ ）在 点连续.,fxgfx0x0x复合函数连续性定理: 若函数 在 点连续， 在 点连续， ，fgu00ufx则复合函数 在 点连续. f0定义：设 为定义在数集 上的函数. 若 ，使得对 都有fxD0xDx(或 )，则称在 上有最大值（或最小值），称 为 在0fx0fx 0f上的最大值点（或最小值点），并称 为

14、在 上的最大值（或最小值）.D0ff闭区间上连续函数的基本性质:最大最小值定理: 若函数 在闭区间 上连续，则 在闭区间 上有fx,abfx,ab最大值与最小值. 有界性推论：若函数 在闭区间 上连续，则 在闭区间 上有界. f,f,介值性定理: 若函数 在闭区间 上连续，且 ， 为介于xabafb与 之间的任何实数（ 或 ）,则在开区间fafbfff内至少存在一点 ，使得, 00.根的存在定理: 若函数 在闭区间 上连续，且 与 异号，则至少fx,abfafb存在一点 使得 即 在 内至少有一个实根.0,xab0,fx,反函数的连续性定理: 若连续函数 在闭区间 上严格递增（递减），则其反函数 在相应的定义域 （或 ）上递增（递减）且连续. 1fy ,fab,fa5. 一致连续性一致连续性定义：设函数 在区间 上有定义. 若 ， 当fxI0,0且 时，有 则称 在区间 上一致连续. 12,xI12x12,ffxI注意：这里的 只与 有关，与 的位置无关. 0()i区间 上的连续函数 当 且Ifx1,I0,1,0,2xI时，有 这就是说，连续函数里的