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1、1复旦大学数学类基础课程数学分析教学大纲218.003.1 数学分析（ I ） 学分数 5 周学时 4+2总学时 96（讲课 64，习题课 32）218.003.2 数学分析（ II ） 学分数 5 周学时 4+2总学时 96（讲课 64，习题 32）218.003.3 数学分析（ III ） 学分数 4 周学时 3+2总学时 80（讲课 48，习题 32）课程性质与基本要求课程性质：数学分析是数学系最重要的一门基础课，是许多后继课程如微分几何，微分方程，复变函数，实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课程必备的基础，是数学类本科一、二年级学生的必修课。本课程总学时为 272 学时，
2、其中讲课为 176 学时，习题课为 96学时，共分三学期完成，分别为数学分析（ I ） ，数学分析（ II ） ，数学分析（ III ） 。基本要求：通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。教学方式与指导思想教学方式：以课堂教学为主，充分利用现代化技术，结合计算机实习与多媒体辅助教学，提高教学效果。指导思想：微积分理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展，在数学分析的教学中，应强化微积分与相邻学科之间的联系，强调应用背景，充实理论的应用性内
3、容。数学分析的教学除体现本课程严格的逻辑体系外，也要反映现代数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法，提高学生的数学修养。2教学内容，教学要求与学时分配学时（含习题课）数学分析（ I ）第一章 集合与映射 81.集合 2.映射与函数本章教学要求：理解集合的概念与映射的概念，掌握实数集合的表示法，函数的表示法与函数的一些基本性质。第二章 数列极限 161.实数系的连续性2.数列极限 3.无穷大量4.收敛准则本章教学要求：掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的收敛准则，理解实数系具有连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。第三章 函数极限与连续函数 161.函数极
4、限2.连续函数 3.无穷小量与无穷大量的阶4.闭区间上的连续函数本章教学要求：掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系，无穷小量与无穷大量阶的估计，闭区间上连续函数的基本性质。第四章 微 分 151.微分和导数2.导数的意义和性质 3.导数四则运算和反函数求导法则4.复合函数求导法则及其应用5.高阶导数和高阶微分本章教学要求：理解微分、导数、高阶微分与高阶导数的概念、性质及相互关系，熟练掌握求导与求微分的方法。第五章 微分中值定理及其应用 211.微分中值定理32.LHospital 法则3.插值多项式和 Taylor 公式4.函数的 Taylor 公式及其应用5.应用举例6.函数方程的近
5、似求解本章教学要求：掌握微分中值定理与函数的 Taylor 公式，并能应用于函数性质的研究，熟练运用 LHospital 法则计算极限，熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。第六章 不定积分 91.不定积分的概念和运算法则2.换元积分法和分部积分法3.有理函数的不定积分及其应用本章教学要求：掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应用换元法和分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。第七章 定积分（1 3） 111.定积分的概念和可积条件 2.定积分的基本性质3.微积分基本定理期末考试数学分析（ II ）第七章 定积分（4 6） 154.定积分在几何中的应用5.微
6、积分实际应用举例6.定积分的数值计算本章教学要求：理解定积分的概念，牢固掌握微积分基本定理：牛顿莱布尼兹公式，熟练定积分的计算，熟练运用微元法解决几何，物理与实际应用中的问题，初步掌握定积分的数值计算。第八章 反常积分 91.反常积分的概念和计算2.反常积分的收敛判别法本章教学要求：掌握反常积分的概念，熟练掌握反常积分的收4敛判别法与反常积分的计算。第九章 数项级数 211.数项级数的收敛性2.上级限与下极限3.正项级数4.任意项级数5.无穷乘积本章教学要求：掌握数项级数敛散性的概念，理解数列上级限与下极限的概念，熟练运用各种判别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。第十章 函数项级数
7、 211.函数项级数的一致收敛性2.一致收敛级数的判别与性质3.幂级数4.函数的幂级数展开5.用多项式逼近连续函数本章教学要求：掌握函数项级数（函数序列）一致收敛性概念，一致收敛性的判别法与一致收敛级数的性质，掌握幂级数的性质，会熟练展开函数为幂级数，了解函数的幂级数展开的重要应用。第十一章 Euclid 空间上的极限和连续 91.Euclid 空间上的基本定理2.多元连续函数3.连续函数的性质本章教学要求：了解 Euclid 空间的拓扑性质，掌握多元函数的极限与连续性的概念，区分它们与一元函数对应概念之间的区别，掌握紧集上连续函数的性质。第十二章 多元函数的微分学（15） 211.偏导数与全
8、微分2. 多元复合函数的求导法则3.Taylor 公式4.隐函数5.偏导数在几何中的应用期末考试 5数学分析（ III ）第十二章 多元函数的微分学（67） 76.无条件极值7.条件极值问题与 Lagrange 乘数法本章教学要求：掌握多元函数的偏导数与微分的概念，区分它们与一元函数对应概念之间的区别，熟练掌握多元函数与隐函数的求导方法，掌握偏导数在几何上的应用，掌握求多元函数无条件极值与条件极值的方法。第十三章 重积分 191.有界闭区域上的重积分2.重积分的性质与计算3.重积分的变量代换4.反常重积分5.微分形式本章教学要求：理解重积分的概念，掌握重积分与反常重积分的计算方法，会熟练应用变
9、量代换法计算重积分，了解微分形式的引入在重积分变量代换的表示公式上的应用。第十四章 曲线积分与曲面积分 281.第一类曲线积分与第一类曲面积分2.第二类曲线积分与第二类曲面积分3.Green 公式，Gauss 公式和 Stokes 公式4.微分形式的外微分5.场论初步本章教学要求：掌握二类曲线积分与二类曲面积分的概念与计算方法，掌握 Green 公式，Gauss 公式和 Stokes 公式的意义与应用，理解外微分的引入在给出 Green 公式，Gauss 公式和 Stokes 公式统一形式上的意义，对场论知识有一个初步的了解。第十五章 含参变量积分 12 1.含参变量的常义积分2.含参变量的反
10、常积分3.Euler 积分本章教学要求：掌握含参变量常义积分的性质与计算，掌握含参变量反常积分一致收敛的概念、一致收敛的判别法、一致收敛反常积分的性质及其在积分计算中的应用，掌握 Euler 积分的计算与应用。6第十六章 Fourier 级数 14 1. 函数的 Fourier 级数展开2. Fourier 级数的收敛判别法3. Fourier 级数的性质4. Fourier 变换和 Fourier 积分5.快速 Fourier 变换本章教学要求：掌握周期函数的 Fourier 级数展开方法，掌握Fourier 级数的收敛判别法与 Fourier 级数的性质，对 Fourier 变换与 Fou
11、rier 积分有一个初步的了解。期末考试 考核方式闭卷考试教材和参考书教材：数学分析 （第二版） ， 陈纪修，於崇华，金路编 高等教育出版社 上册：2004 年 6 月，下册：2004 年 10 月参考书：（1） 数学分析习题全解指南， 陈纪修，徐惠平，周渊，金路，邱维元 高等教育出版社 上册：2005 年 7 月，下册：2005年 11 月（2） 高等数学引论 （第一卷） ，华罗庚著科学出版社（1964）（3） 微积分学教程 ，菲赫金哥尔兹编，北京大学高等数学教研室译，人民教育出版社（1954）（4） 数学分析习题集 ，吉米多维奇编，李荣？译高等教育出版社（1958）（5） 数学分析原理 ，卢丁著，赵慈庚，蒋铎译高等教育出版社（1979）（6） 数学分析 ，陈传璋等高等教育出版社（1978）
