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1、1复旦大学数学类基础课程数学分析教学大纲218.003.1 数学分析( I ) 学分数 5 周学时 4+2总学时 96(讲课 64,习题课 32)218.003.2 数学分析( II ) 学分数 5 周学时 4+2总学时 96(讲课 64,习题 32)218.003.3 数学分析( III ) 学分数 4 周学时 3+2总学时 80(讲课 48,习题 32)课程性质与基本要求课程性质:数学分析是数学系最重要的一门基础课,是许多后继课程如微分几何,微分方程,复变函数,实变函数与泛函分析,计算方法,概率论与数理统计等课程必备的基础,是数学类本科一、二年级学生的必修课。本课程总学时为 272 学时,
2、其中讲课为 176 学时,习题课为 96学时,共分三学期完成,分别为数学分析( I ) ,数学分析( II ) ,数学分析( III ) 。基本要求:通过系统的学习与严格的训练,全面掌握数学分析的基本理论知识;培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力;具备熟练的运算能力与技巧;提高建立数学模型,并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。教学方式与指导思想教学方式:以课堂教学为主,充分利用现代化技术,结合计算机实习与多媒体辅助教学,提高教学效果。指导思想:微积分理论的产生离不开物理学,天文学,几何学等学科的发展,在数学分析的教学中,应强化微积分与相邻学科之间的联系,强调应用背景,充实理论的应用性内
3、容。数学分析的教学除体现本课程严格的逻辑体系外,也要反映现代数学的发展趋势,吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法,提高学生的数学修养。2教学内容,教学要求与学时分配学时(含习题课)数学分析( I )第一章 集合与映射 81.集合 2.映射与函数本章教学要求:理解集合的概念与映射的概念,掌握实数集合的表示法,函数的表示法与函数的一些基本性质。第二章 数列极限 161.实数系的连续性2.数列极限 3.无穷大量4.收敛准则本章教学要求:掌握数列极限的概念与定义,掌握并会应用数列的收敛准则,理解实数系具有连续性的分析意义,并掌握实数系的一系列基本定理。第三章 函数极限与连续函数 161.函数极
4、限2.连续函数 3.无穷小量与无穷大量的阶4.闭区间上的连续函数本章教学要求:掌握函数极限的概念,函数极限与数列极限的关系,无穷小量与无穷大量阶的估计,闭区间上连续函数的基本性质。第四章 微 分 151.微分和导数2.导数的意义和性质 3.导数四则运算和反函数求导法则4.复合函数求导法则及其应用5.高阶导数和高阶微分本章教学要求:理解微分、导数、高阶微分与高阶导数的概念、性质及相互关系,熟练掌握求导与求微分的方法。第五章 微分中值定理及其应用 211.微分中值定理32.LHospital 法则3.插值多项式和 Taylor 公式4.函数的 Taylor 公式及其应用5.应用举例6.函数方程的近
5、似求解本章教学要求:掌握微分中值定理与函数的 Taylor 公式,并能应用于函数性质的研究,熟练运用 LHospital 法则计算极限,熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。第六章 不定积分 91.不定积分的概念和运算法则2.换元积分法和分部积分法3.有理函数的不定积分及其应用本章教学要求:掌握不定积分的概念与运算法则,熟练应用换元法和分部积分法求解不定积分,掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。第七章 定积分(1 3) 111.定积分的概念和可积条件 2.定积分的基本性质3.微积分基本定理期末考试数学分析( II )第七章 定积分(4 6) 154.定积分在几何中的应用5.微
6、积分实际应用举例6.定积分的数值计算本章教学要求:理解定积分的概念,牢固掌握微积分基本定理:牛顿莱布尼兹公式,熟练定积分的计算,熟练运用微元法解决几何,物理与实际应用中的问题,初步掌握定积分的数值计算。第八章 反常积分 91.反常积分的概念和计算2.反常积分的收敛判别法本章教学要求:掌握反常积分的概念,熟练掌握反常积分的收4敛判别法与反常积分的计算。第九章 数项级数 211.数项级数的收敛性2.上级限与下极限3.正项级数4.任意项级数5.无穷乘积本章教学要求:掌握数项级数敛散性的概念,理解数列上级限与下极限的概念,熟练运用各种判别法判别正项级数,任意项级数与无穷乘积的敛散性。第十章 函数项级数
7、 211.函数项级数的一致收敛性2.一致收敛级数的判别与性质3.幂级数4.函数的幂级数展开5.用多项式逼近连续函数本章教学要求:掌握函数项级数(函数序列)一致收敛性概念,一致收敛性的判别法与一致收敛级数的性质,掌握幂级数的性质,会熟练展开函数为幂级数,了解函数的幂级数展开的重要应用。第十一章 Euclid 空间上的极限和连续 91.Euclid 空间上的基本定理2.多元连续函数3.连续函数的性质本章教学要求:了解 Euclid 空间的拓扑性质,掌握多元函数的极限与连续性的概念,区分它们与一元函数对应概念之间的区别,掌握紧集上连续函数的性质。第十二章 多元函数的微分学(15) 211.偏导数与全
8、微分2. 多元复合函数的求导法则3.Taylor 公式4.隐函数5.偏导数在几何中的应用期末考试 5数学分析( III )第十二章 多元函数的微分学(67) 76.无条件极值7.条件极值问题与 Lagrange 乘数法本章教学要求:掌握多元函数的偏导数与微分的概念,区分它们与一元函数对应概念之间的区别,熟练掌握多元函数与隐函数的求导方法,掌握偏导数在几何上的应用,掌握求多元函数无条件极值与条件极值的方法。第十三章 重积分 191.有界闭区域上的重积分2.重积分的性质与计算3.重积分的变量代换4.反常重积分5.微分形式本章教学要求:理解重积分的概念,掌握重积分与反常重积分的计算方法,会熟练应用变
9、量代换法计算重积分,了解微分形式的引入在重积分变量代换的表示公式上的应用。第十四章 曲线积分与曲面积分 281.第一类曲线积分与第一类曲面积分2.第二类曲线积分与第二类曲面积分3.Green 公式,Gauss 公式和 Stokes 公式4.微分形式的外微分5.场论初步本章教学要求:掌握二类曲线积分与二类曲面积分的概念与计算方法,掌握 Green 公式,Gauss 公式和 Stokes 公式的意义与应用,理解外微分的引入在给出 Green 公式,Gauss 公式和 Stokes 公式统一形式上的意义,对场论知识有一个初步的了解。第十五章 含参变量积分 12 1.含参变量的常义积分2.含参变量的反
10、常积分3.Euler 积分本章教学要求:掌握含参变量常义积分的性质与计算,掌握含参变量反常积分一致收敛的概念、一致收敛的判别法、一致收敛反常积分的性质及其在积分计算中的应用,掌握 Euler 积分的计算与应用。6第十六章 Fourier 级数 14 1. 函数的 Fourier 级数展开2. Fourier 级数的收敛判别法3. Fourier 级数的性质4. Fourier 变换和 Fourier 积分5.快速 Fourier 变换本章教学要求:掌握周期函数的 Fourier 级数展开方法,掌握Fourier 级数的收敛判别法与 Fourier 级数的性质,对 Fourier 变换与 Fou
11、rier 积分有一个初步的了解。期末考试 考核方式闭卷考试教材和参考书教材:数学分析 (第二版) , 陈纪修,於崇华,金路编 高等教育出版社 上册:2004 年 6 月,下册:2004 年 10 月参考书:(1) 数学分析习题全解指南, 陈纪修,徐惠平,周渊,金路,邱维元 高等教育出版社 上册:2005 年 7 月,下册:2005年 11 月(2) 高等数学引论 (第一卷) ,华罗庚著科学出版社(1964)(3) 微积分学教程 ,菲赫金哥尔兹编,北京大学高等数学教研室译,人民教育出版社(1954)(4) 数学分析习题集 ,吉米多维奇编,李荣?译高等教育出版社(1958)(5) 数学分析原理 ,卢丁著,赵慈庚,蒋铎译高等教育出版社(1979)(6) 数学分析 ,陈传璋等高等教育出版社(1978)