《《数学》(含高等数学、线性代数)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《《数学》(含高等数学、线性代数)(11页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、华中科技大学硕士研究生入学考试数学(含高等数学、线性代数) 考试大纲一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 简单应用问题的函数关系的建立。数列极限与函数极限的定义以及它们的性质 函数的左极限与右极限 无穷小和无穷大的概念及其关系 无穷小的性质及无穷小的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则:单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限:exxx1lim,sinl0函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)考试要
2、求1理解函数的概念,掌握函数的表示方法。2了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。4掌握基本初等函数的性质及其图形。5会建立简单应用问题中的函数关系式。6理解极限的概念,理解函数的左极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限之间的关系。7掌握极限的性质及四则运算法则。8掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法。9理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限。10理解函数的连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。11了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解
3、闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质。二、一元函数微分学考试内容考试内容导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 基本初等函数的导数 导数和微分的四则运算 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数的概念 简单函数的 n 阶导数 微分在近似计算中的应用 罗尔(Rolle)定理 拉格朗日(Lagrange)中值定理 柯西(Cauchy)中值定理 泰勒(Taylor)定理 洛必达(LHospital)法则 函数的极值及其求法 函数单调性 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图
4、形的描绘 函数最大值和最小值的求法及简单应用 弧微分 曲率的概念 两曲线的交角。 考试要求1理解导数和微分的概念,理解导数与微分的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系。2掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分,了解微分在近似计算中的应用。3了解高阶导数的概念,会求简单函数的 n 阶导数。4会求分段函数的一阶、二阶导数。5会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数,会求反函数的一阶、二阶导数。6
5、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理。7了解并会用柯西中值定理。8理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。9会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点,会求函数图形的水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形。10掌握用洛必达法则未定式极限的方法。11了解曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径,会求两曲线的交角。三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 变上限定积分定义的函数及其导数 牛顿-莱布尼茨公式 不定积分和定积分的换元积分法部积分法 有理
6、函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 反常积分的概念和计算 定积分的应用考试要求1理解原函数概念,理解不定积分和定积分的概念。2掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理,掌握换元积分法与分部积分法。3会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。4会求变上限定积分定义的函数的导数,掌握牛顿-莱布尼式茨公式。5 会计算广义积分。6 了解定积分的近似计算法。7 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量 (平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等)。四、向量代数和空间解析几何考试内容向
7、量的概念 向量的线性运算 向量的数量积和向量积的概念及运算 向量的混合积 两向量垂直、平行的条件 两向量的夹角 向量的坐标表达式及其运算 单位向量 方向数与方向余弦 曲面方程和空间曲线方程的概念 平面方程、直线方程 平面与平面、平面与直线、直线与直线的平行、垂直的条件和夹角 点到平面和点到直线的距离 球面 母线平行于坐标轴的柱面 旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程 常用的二次曲面方程及其图形 空间曲线的参数方程和一般方程 空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。考试要求1理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示。2掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积),了解两个向量垂直、平行的条件。3理解
8、单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式,掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。4掌握平面方程和直线方程及其求法,会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题。5理解曲面方程的概念,了解常用二次曲面的方程及其图形,会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。6了解空间曲线的参数方程和一般方程。7了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求其方程。五、多元函数微分学考试内容多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限和连续的概念 有界闭区域上的多元连续函数的性质 多元函数偏导数和全微分的概念 全微分存在的必要条件和充分条件 全微分在近似计算中的应用 多元复合函数
9、、隐函数的求导法 二阶偏导数 方向导数和梯度的概念及其计算 空间曲线的切线和法平面 曲面的切平面和法线 二元函数的二阶泰勒公式 多元函数极值和条件极值的概念 多元函数极值的必要条件 二元函数极值的充分条件 极值的求法 拉格朗日乘数法 多元函数的最大值、最小值及其简单应用。考试要求1理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义。2了解二元函数的极限与连续性的概念,以及有界闭区域上连续函数的性质。3理解多元函数偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解全微分形式的不变性,了解全微分在近似计算中的应用。4理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。5掌握多元复合函数偏导数
10、的求法。6会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数。7了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,会求它们的方程。8了解二元函数的二阶泰勒公式。9理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题。六、多元函数积分学考试内容二重积分、三重积分的概念及性质 二重积分与三重积分的计算和应用 两类曲线积分的概念、性质及计算 两类曲线积分的关系 格林(Green)公式 平面曲线积分与路径无关的条件 已知全微分求原函数 两类曲面积分的概
11、念、性质及计算 两类曲面积分的关系 高斯(Gauss)公式 斯托克斯(Stokes)公式 散度、旋度的概念及计算 曲线积分和曲面积分的应用。考试要求1理解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质,了解二重积分的中值定理。2掌握二重积分(直角坐标、极坐标)的计算方法,会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。3理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。4掌握计算两类曲线积分的方法。5掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件,会求全微分的原函数。6了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系,掌握计算两类曲面积分的方法,了解高斯公式、斯托克斯公式,会用
12、高斯公式计算曲面积分。7了解散度与旋度的概念,并会计算。8会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等)。七、无穷级数考试内容常数项级数的收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与 p 级数以及它们的收敛性 正项级数的比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法 交错级数与莱布尼茨定理 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 函数项级数的收敛与和函数的的概念 幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域 幂级数的和函数 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 函数可展开
13、为泰勒级数的充分必要条件 ex、sinx、cos x、ln(1+x)和(1+x) 的麦克劳林(Maclaurin)展开式 幂级数在近似计算中的应用 函数的傅里叶 (Fourier)系数与傅里叶级数 狄利克雷(Dirichlet)定理 函数在-l,l上的傅里叶级数 函数在0,l 上的正弦级数和余弦级数。考试要求1理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念,掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。2掌握几何级数与 p 级数的收敛与发散的条件。3掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法,会用根值审敛法。4掌握交错级数的莱布尼茨判别法。5了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念,以及绝对收敛与条件收敛的关系
14、。6了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。8了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质(和函数的连续性、逐项微分和逐项积分),会求一些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和。9了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。10掌握 ex,sinx, cosx,ln(1+x)和(1+x) a的麦克劳林展开式,会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。11了解幂级数在近似计算上的简单应用。12了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理,会将定义在-l, 上的函数展开傅里叶级数,会将定义在0,l上的函数展开为正弦级数与余弦数,会写出傅
15、里叶级数的和的表达式。八、常微分方程考试内容常微分方程的概念 微分方程的解、阶、通解、初始条件和特解 变量可分离的方程 齐次方程 一阶线性方程 伯努利(Bernoulli)方程 全微分方程 可用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降价高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 欧拉(Euler)方程 包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组 微分方程的幂级数解法 微分方程(或方程组)的简单应用问题。考试要求1了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。2掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。3会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程,会用简单的变量代换解某些微分方程。4会用降低阶法解下列方程:y (n)=f(x),y=(x,y)和 y=f(y,y)5理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。6掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。7会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。8了解微分方程的幂级数解法,会解欧拉方程,会解包含两个