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1、高二年级 (上)-立体几何中球体的计算 - 1 - / 14 高二年级（上）-立体几何中球体的计算 例 1.1.若棱长为 3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为。 2.一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1、2、 3，则此球的体积为。 3.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是. 3 高二年级 (上)-立体几何中球体的计算 - 2 - / 14 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为 abc、 、 ，则就可 以将这个三棱锥补成一个长方体， 于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外 接球的直径 .设其外接球的半径为 R，
2、则有 222 2Rabc . 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。 4.一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积 为。 2 高二年级 (上)-立体几何中球体的计算 - 3 - / 14 同步练习一 1.一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为，则该 球的体积为。 2.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为 16，则这个球的表面积 为（） 。 A. B. C. D. 24 16202432 高二年级 (上)-立体几何中球体的计算 - 4 - / 14 3.在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为361、，若该四 面体的四个顶点在一个
3、球面上，求这个球的体积。 4.在等腰梯形中，为的中点，将 与分布沿、向上折起，使重合于点，则三棱锥的 外接球的体积为（） 。 A. B. C. D. 5.已知球的面上四点 A、 B、 C、 D， 则球的体积等于。 ABCDAB=2DC=2 0 DAB=60 EABADE BEC ED ECAB、 P P-DCE 4 3 27 6 2 6 8 6 24 ODAABC平面ABBCDA=AB=BC=3 O 高二年级 (上)-立体几何中球体的计算 - 5 - / 14 6.已知点A 、B、C、D 在同一个球面上，若 ，则球的体积是。 7.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为 16，则这
4、个球的表 面积是（） A.16B.20C.24D.32 BBCDA平面BCDC 6,AC=213,AD=8AB 高二年级 (上)-立体几何中球体的计算 - 6 - / 14 8.已知点是球 O 表面上的点平面 ,四边形是边长为 2正方形 .若 2,则的面积为。 9.已知正方体 1111 DCBAABCD的各个顶点都在球 O的球面上，若球 O的表面积 为12 ，则球心 O到平面 1 ACD的距离为。 10.在三棱锥P中，2BCAB，2PCPA， AC 中点为 M ， 36 高二年级 (上)-立体几何中球体的计算 - 7 - / 14 3 3 cosPMB，则此三棱锥的外接球的表面积为（） A 2
5、 3 B 2 C 6 D6 例 2.1.正四棱锥 SABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 ， 点 SABCD、 、 、 、 都 在同一球面上，则此球的体积为。 高二年级 (上)-立体几何中球体的计算 - 8 - / 14 2.在矩形 ABCD中， 4,3ABBC ，沿 AC将矩形ABCD折成一个直二面角 BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为（ ） A. 125 12 B. 125 9 C. 125 6 D. 125 3 同步练习二 1.如图所示 ,在直三棱柱 ABCA B C 中, 2,BCBB 4，点 M 是线段 AB 的中点 ,则三棱锥的外接球的体积是( ) 高二年级 (上)-立体
6、几何中球体的计算 - 9 - / 14 A.36B. 205 3 C.6D. 4 3 2.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且， ，,求球的体积。 M B C A C B A 高二年级 (上)-立体几何中球体的计算 - 10 - / 14 3.已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上 ,是边长为的正三角 形,且;则此棱锥的体积为。 例3.1. 三 棱 柱 111 ABCA B C的 各 个 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 ， 且 1,2ABACBC， 1 CC平面 ABC .若球 O 的表面积为 3，则这个三棱柱 的体积是（） (A) 1 6 (B) 1 3 (C) 1 2 (D) 1 S
7、ABCOABC1 2SC 高二年级 (上)-立体几何中球体的计算 - 11 - / 14 2.直三棱柱 111 CBAABC的各顶点均在同一个球面上，若2 1 AAACAB且 120BAC， 则此球的表面积为 ( ) A20B16C8D4 3.在棱长为 2 的正面体 ABCD 中， G 为BCD 的重心， M 为线段 AG的中点，则 高二年级 (上)-立体几何中球体的计算 - 12 - / 14 三棱锥BCDM外接球的表面积为。 内切球 例 4.1.若棱长为2 3的正四面体内切一球，则该球的半径为。 高二年级 (上)-立体几何中球体的计算 - 13 - / 14 2.正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A. 1B. 13 C. 13D. 19 3.若正三棱锥底面边长为a，高为 h，内切圆半径为r，则请用a， h表示r。 33 高二年级 (上)-立体几何中球体的计算 - 14 - / 14 4.在封闭的直三棱柱 A1B1C1内有一个体积为V 的球。若， 6，8，1=3，则 V 的最大值是（） A. 4B. 9 2 C.6D. 32 3
