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1、2020初三上学期数学重点知识点精编二次函数知识点：1.定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.2.二次函数的性质(1)抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.(2)函数的图像与的符号关系. 时抛物线开口向上顶点为其最低点； 当时抛物线开口向下顶点为其最高点3.二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合)轴的抛物线.4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；.6.抛物线的五要素：开口方向、对称轴、顶点、与x轴交点、与y轴交点. 决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同；越大，开口越小。平行于轴(或重合
2、)的直线记作.特别地，轴记作直线.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：，顶点是，对称轴是直线.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.抛物线与x轴有无交点的判定情况 b2-4ac0与x轴有两个不同的交点b2-4ac=0与x轴只有一个交点b2-4ac0与x轴没有交点抛物线与y轴的交点 ()用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失9.抛物线中，的作用(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一
3、样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线,故：时，对称轴为轴；(即、同号)时,对称轴在轴左侧；(即、异号)时,对称轴在轴右侧. （左同右异）(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：，抛物线经过原点; ,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴)(0,0)(轴)(0, )(,0)(,)()11.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通
4、常选择一般式. (2)顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3)交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.12.直线与抛物线的交点(1)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).(2)平行于轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.(3)一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点.(4)抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两
5、个根，故 13二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程就是二次函数当函数y的值为0时的情况(2)二次函数的图象与轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象与轴有交点时，交点的横坐标就是当时自变量的值，即一元二次方程的根(3)当二次函数的图象与轴有两个交点时，则一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与轴有一个交点时，则一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与轴没有交点时，则一元二次方程没有实数根14、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称
6、后，得到的解析式是； 2. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 3. 关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180） 关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是 5. 关于点对称 关于点对称后，得到的解析式是 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的
7、顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式15.二次函数的应用：(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值15.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等重难点：二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，用二次函数解决实际问题。考点：二次函数在中考中占有很重要的地位
8、，是中考中的必考内容。中考的主要命题点为：（1）求二次函数的关系式（2）抛物线的顶点、开口方向和对称轴（3）二次函数的最大（小）值（4）抛物线（a0）与a,b,c的符号（5）二次函数与一元二次方程（6）二次函数的简单实际问题等。题型主要有选择题、填空题、解答题，还有探究题和开放题。有关二次函数的热点问题仍然是函数型应用题与方程、几何知识、三角函数等知识综合在一起的综合题、探究题和开放题。圆的基本性质知识点：1.圆的有关概念（1）圆心、半圆、同心圆、等圆、弦与弧。（2）直径是经过圆心的弦。是圆中最长的弦。弧是圆的一部分。2.圆周角与圆心角（1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（2）圆
9、周角与半圆或直径：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角所对的弦是圆的直径。（3）圆周角与半圆或等弧：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。3.圆的对称性（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。（2）圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量分别相等。（3）圆的轴对称性：经过圆心都的任意一条直线都是它的对称轴。垂径定理是研究有关圆的知识的基础。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。还可以概括为：如果有一条直线,1.垂直于弦；2.经过圆心；3.平分弦（非直径）；4.平分弦所对的优弧；
10、5.平分弦所对的劣弧，同时具备其中任意两个条件，那么就可以得到其他三个结论。4.弧长及扇形的面积弧长公式：圆弧是圆的一部分，若将圆周分为360份，1的圆心角所对的弧是圆周长的，因为半径为r的圆周长是2r，所以n的圆心角所对的弧长的计算公式为（其中，为弧长，n为弧所对的圆心角度数，r为弧所在圆的半径）扇形的面积公式：1扇形的定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形，如图，和半径OA、OB所组成的图形是一个扇形，读作扇形OAB2扇形的周长扇形的周长等于弧长与两半径的长之和，即3扇形是圆面的一部分，若将半径为r的圆分为360份，圆心角1的扇形面积是圆面积的，因为半径为r的圆的面积
11、是，所以半径为r，圆心角为n的扇形面积为4弧长为，半径为r的扇形面积为5扇形面积的应用（求圆的一部分的面积）：5.圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线长l，扇形的弧长即为底面圆的周长2r，根据扇形面积公式可知S2rlrl因此圆锥的侧面积为S侧rl圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，全面积为S全=r2+rl重点：1.弦和弧的概念、弧的表示方法和点与圆的位置关系。2.用尺规作图法对不在同一直线上的三个点作圆。3.垂径定理。（重中之重：“垂直于弦的直径平分弦和弧”经常考）4.扇形弧长和面积、圆锥
12、侧面积和体积的计算。难点：1.对“不在同一直线上的三个点确定一个圆”中的存在性和唯一性的理解2. 圆锥侧面积计算公式的推导过程需要较强的空间想像能力3. 类似蚂蚁爬圆锥的计算问题。4.有关圆的无图多解问题。考点：1 垂直于弦的直径2 圆周角定理及其推论3 圆内接四边形4 圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系5 圆的性质综合题相似三角形知识点：1 相似图形形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. 2 比例线段的相关概念如果选用同一单位量得两条线段的长度分别为，那么就说这两条线段的比是，或写成注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位在四条线段中，如
13、果的比等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段注意：(1) 当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式(2)比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项，那么应得比例式为：3 比例的性质 基本性质：(1)；(2)注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如，除了可化为，还可化为，更比性质(交换比例的内项或外项)：反比性质(把比的前项、后项交换)：合比性质：注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立如：等等等比性质：如果，那么注意：(1) 此性质的证明运用了“设法” ，这种方法是有关比例
14、计算，变形中一种常用方法(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立如：；其中4 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边5 黄金分割把线段分成两条线段，且使是的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中0.6186 相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形相似用符号“”表示，读作“相似于” 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)相似三角形对应角相等，对应边成比例注意：对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置
