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1、17894673江苏省扬州中学 2011 届高三最后冲刺试卷数 学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。满分 160 分。考试时间 120 分。第卷（选择题 共 70 分）一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分）1. 已知集合 ,3sin|ZxA，则集合 A 的子集的个数为_. 2. 若复数 ia21（ R， i为虚数单位）是纯虚数,则实数 的值为_. 3. 已知条件 p： 2|1|x，条件 q： ax，且 p是q的充分不必要条件，则 a的取值范围可以是_. 4. 右图程序运行结果是_.5. 右图是七位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，
2、所剩数据的方差为 6. 在 120的二面角内放置一个小球，它与二面角的两个面相切于 A、B 两点，这两个点的距离 AB=5, 则小球的半径为_ 7. 函数 )2ln()xxf的单调递增区间是_. 8. 将直线 0y沿 x轴向左平移 1 个单位，所得直线与圆240xy相切，则实数 的值为_9. O 是锐角 ABC 所在平面内的一定点,动点 P 满足: OA2BSinACa1b1i4WHILE i6aa+bba+bii+1END WHILEPRINT b程序运行结果是 22ACSinB, 0,则动点 P 的轨迹一定通过 ABC 的_心 10. 对于使 2xM成立的所有常数 M 中，我们把 M 的最
3、小值 1叫做 2x的上确界,若 ,1abR且 ，则 2ab的上确界为_11. 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，点 M 在 AB 上，且AM= 31AB，点 P 在平面 ABCD 上，且动点 P 到直线 A1D1的距离的平方与 P 到点 M 的距离的平方差为 1，在平面直角坐标系 xoy 中，动点 P 的轨迹方程是_12. 设函数 2113() nfxaxa ， (0)2f，数列 na满足2*(1)nfN，则数列 n的通项 n= 13. 函数 f(x)是奇函数，且在1，1是单调增函数，又 f(1)=1, 则满足 f(x)t 2+2at+1 对所有的 x1,1及 a1,1都成
4、立的 t 的范围是 . 14. 已知 O为坐标原点， ,Pxy， ,0OAa， ,Ba， 3,4OC，记PA、 B、 C中的最大值为 M，当 取遍一切实数时，M 的取值范围是 .第卷（非选择题 共 90 分）二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分）15. （本小题 14 分）已知函数 f(x) 2log(x a)的定义域为 A，值域为 B3x（1）当 a4 时，求集合 A；3（2）当 BR 时，求实数 a 的取值范围16. （本小题 14 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC=90，AB=BB 1=a，直线 B1C 与平面 ABC 成 30角.（1）求证：平面 B1AC平面
5、 ABB1A1；（2）求 C1到平面 B1AC 的距离；（3）求三棱锥 A1AB1C 的体积. 17. （本小题 15 分）某企业生产 A、B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如左图， B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如右图 (注：利润与投资单位：万元)(1)分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资 x(万元)的函数关系式；(2)该企业已筹集到 10 万元资金，并全部投入 A、B 两种产品的生产，问：怎样分配这 10 万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元?18. （本小题 15 分）已知ABC 的周长为 6， ,BCA依次为 a，
6、b，c，成等比数列. （1）求证： 03B4xyOADBC（2）求ABC 的面积 S 的最大值； （3）求 BCA的取值范围. 19 （本小题 16 分）已知点 A(-1, 0)、B(1, 0),ABC 的周长为 22 .记动点 C 的轨迹2为曲线 W.(1)直接写出 W 的方程（不写过程） ；(2)经过点（0, ）且斜率为 k 的直线 l 与曲线 W 有两个不同的交点 P 和 Q，是否存2在常数 k，使得向量 OPQ与向量 (2,1)共线？如果存在，求出 k 的值；如果不存在，请说明理由.（3）设 W 的左右焦点分别为 F1、 F2，点 R 在直线 l：x y80 上当F 1RF2取最大值时
7、，求 12R的值.20. （本小题 16 分）函数2*()(,)xafbnNc的定义域为x| x 1，图象过原点，且 1(2)f（1）试求函数 ()fx的单调减区间；（2）已知各项均为负数的数列 na前 n 项和为 nS，满足 14()nfa，求证：1lnnaa；（3）设 1(,)gmn ，是否存在 1,2,*mN，使得 ln20112(,？若存在，求出 1,2，证明结论；若不存在，说明理由数学附加题1 四边形 ABCD 和四边形 ABCD分别是矩形和平行四边形，其中点的坐标分别为 A（1，2） ，B（3，2） ，5C（3，2） ，D（1，2） ， A（1，0） ， B（3，8） ， C（3，
8、4）, （1，4） 求将四边形 ABCD 变成四边形 ABD的变换矩阵 M 2直线3,2()xsy为 参 数和曲线1,()xtyt为 参 数相交于 A、B 两点求线段 AB的长3设有 3 个投球手，其中一人命中率为 q，剩下的两人水平相当且命中率均为 p,0,1pq，每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为 .（1）当 2时，求数学期望 ()E及方差 ()V；（2）当 时，将 的数学期望 用 p表示. 4已知正项数列 na中，对于一切的 *nN均有 21nna成立。（1）证明：数列 n中的任意一项都小于 1；（2）探究 a与 1的大小，并证明你的结论.6参考答案1. 8 2.
9、-6 3. 1, 4. 215. 85， 1.6 6. 57. ,28. 3 或 79. 内心10. 9211.932xy12.()n13. .02,14. 76,15. 解：（1）当 a4 时，由 x 4 0， 3x x2 4x 3x (x 1)(x 3)x解得 0x1 或 x3，故 Ax|0x1 或 x3 （2）若 BR，只要 ux a 可取到一切正实数，则 x0 及3xumin0，u min2 a0，3解得 a2 3实数 a 的取值范围为 ,.16. 解：（1）证明：由直三棱柱性质，B 1B平面 ABC，B 1BAC，又 BAAC，B 1BBA=B，AC平面 ABB 1A1，又 AC平面
10、 B1AC，平面 B1AC平面 ABB1A1.（2）解：A 1C1AC, 平面 B1ACA 1C1平面 B1ACC 1到平面 B1AC 的距离就是求 A1到平面 B1AC 的距离过 A1做 A1MB 1A1，垂足为 M，连结 CM，平面 B1AC平面 ABB1A，且平面 B1AC平面 ABB1A1=B1A，A 1M平面 B1AC.6sin,2,31CAMa又从 而C 1到平面 B1AC 的距离为 2（3）解：直线 B1C 与平面 ABC 成 30角，B 1CB=30.可得 B1C=2a，BC= aA2,3，7 11326ABCABVa 17. 解(1)设投资为 x 万元,A 产品的利润为 f(
11、x)万元,B 产品的利润为 g(x)万元由题设 kgf21)(,)(由图知 f(1)= 4,故 k1= 又 52)(g 从而 )0(4)(,0(xgxf (2)设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10-x 万元,设企业利润为 y 万元)1(15)1() fy令 xt0则 )0(652442ttty当 75.3,165,25maxt时时答:当 A 产品投入 3.75 万元,则 B 产品投入 6.25 万元,企业最大利润为 165万元18解：（1）a+b+c=6，b=ac，不妨设 ab c，由余弦定理得22cos 2aac故有 03B，（2）又 6,2bba从而 0 。又 a+bc =6
12、ab，所以 .所以 2211sinsisin3SB，即 max3S（3）所以 2)(cobcabaCA22(6)3()73,24bB.19解：(1) W: 21xy (0). (2) 设直线 l 的方程为 k，代入椭圆方程，得 22()1xk.8整理，得 21()10kx. 因为直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于2284()，解得 2k或 .设 P（x 1,y1）,Q(x 2,y2),则 O（x 1+x2，y 1+y2),由得 2k. 又 11()yx 所以 OPQ与向量 ,共线等价于 1212()xy=-将代入上式，解得 2k.所以不存在常数 k，使得向量 OPQ与 MN共
13、线（3）当F 1RF2取最大值时，过 R、F 1、F 2的圆的圆心角最大，故其半径最小，与直线 l 相切.直线 l 与 x 轴于 S(-8,0), 1S 21 1222273RFSRF.20. 解：（1）由己知 0,abc.41()32f且 *,nN2b ()()1xf 于是222()4()(1)xxfA由 0fx得 1或 故函数 ()的单调减区间为 (0,)和 ,2 （2）由已知可得 2nnSa， 当 时， 11两式相减得 ()()0nn 1na（各项均为负数）9当 1n时， 211aa， n 于是，待证不等式即为 1ln为此，我们考虑证明不等式 ,0x令 1,0tx则 1t， t再令 ()lng， ()g 由 (1,)t知 (gt当 1,t时， t单调递增 0g 于是 1lnt即 l0x 令 ()nhtt， 21()tht 由 (1,)t知 (0ht当 1,时， 单调递增 ()0h 于是 1lnt即 l,0xx 由、可知 1ln,0x 所以， 1ln，即 1lnnaa （3） 1, 220,1,0mn.在 ln中令 ,3,27 2010，并将各式相加得11ll2301020 即 l(2,)(,)g.附加题1.解：该变换为切变变换，设矩阵
