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1、第 28 讲 解直角三角形考试 -目标锁定考纲要求 备考指津1.理解锐角三角函数的定义，会运用锐角三角函数解直角三角形2.掌握特殊锐角(30，45，60)的三角函数值，并会进行计算3.了解直角三角形的定义，掌握边角之间的关系，并 能进行有关计算4.利用解直角三角形的知识解决简单的实际问题.中考中主要以锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值及解直角三角形试题难度不大，其中运用解直角三角形的知识解决与现实生活相关的应用题是热点基础自主导学考点一锐角三角函数定义在 Rt ABC 中，C90 ， A，B，C 的对边分别为 a，b，C sin A= = ； A的 对 边斜 边 accos A ； A的
2、邻 边斜 边 bctan A . A的 对 边邻 边 ab考点二特殊角的三角函数值考点三解直角三角形1直角三角形的边角关系：在 Rt ABC 中，C90 ， A，B，C 的对边分别为 a，b，C (1)三边之间的关系：a 2b 2c 2；(2)锐角之间的关系：AB90；(3)边角之间的关系：sin A ，cos A ，tan A ，sin B ，cos B ，tan B .ac bc ab bc ac ba2解直角三角形的几种类型及解法：(1)已知一条直角边和一个锐角( 如 a，A)，其解法为：B90A ， c ，b (或 b )；asin A atan A c2 a2(2)已知斜边和一个锐角
3、(如 c，A) ，其解法为：B90A，ac sin A，b ccos A(或 b )；c2 a2(3)已知两直角边 a，b，其解法为：c ，a2 b2由 tan A ，得 A，B90A；ab(4)已知斜边和一直角边(如 c，a) ，其解法为：b ，由 sin A ，求出c2 a2acA ， B90A 考点四解直角三角形的应用1仰角与俯角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角2坡角与坡度：坡角是坡面与水平面所成的角；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度( 或坡比) ，常用 i 表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越
4、大，坡面越陡1如图，在 RtABC 中，ACB90，BC1，AB 2 ，则下列结论正确的是( )Asin A Btan A Ccos B Dtan B32 12 32 32在正方形网格中，ABC 的位置如图所示，则 cosB 的值为() A B C D12 22 32 333如图，已知 RtABC 中，斜边 BC 上的高 AD4，cos B ，则 AC_.454首届中国国际航空体育节在莱芜雪野举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演如图，有一热气球到达离地面高度为 36 米的 A 处时，仪器显示正前方一高楼顶部 B的仰角是 37，底部 C 的俯角是 60.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多
5、少米？(结果精确到 0.1 米)(参考数据：sin 370.60，cos 370.80，tan 37 0.75， 1.73)3规律 -方法探究一、锐角三角函数的定义【例 1】 在ABC 中，C90 ，sin A ，则 tan B_.45A B C D43 34 35 45解析：sin A ， ，于是设 BC4a，AB5A 在 RtABC 中，由勾股定理，可45 BCAB 45得 AC3A tan B .故选 BACBC 3a4a 34答案：B求锐角三角函数值时，必须牢记锐角三角函数的定义，解题的前提是在直角三角形中；如果题目中无直角时，我们必须想法构造一个直角三角形二、特殊角的三角函数值【例
6、2】 计算：|2| 2sin 30( )2(tan 45) 1 .3解：原式22 31 1 1.12牢记特殊角的三角函数值，理解绝对值、负整数指数的意义是解题的关键三、解直角三角形【例 3】 如图，在ABC 中，C90，点 D，E 分别在 AC，AB 上，BD 平分ABC， DE AB，AE6，cos A .35求(1)DE ，CD 的长；(2)tan DBC 的值解：(1)DE AB，DEA90. 在 RtAED 中， cos A ，即 .AEAD 6AD 35AD10.根据勾股定理得 DE 8.又AD2 AE2 102 62DE AB，DCBC，BD 平分 ABC ，DCDE8.(2)AC
7、AD DC10818，在 RtABC 中， cos A ，即 ，AB30.根据ACAB 18AB 35勾股定理得 BC 24.AB2 AC2 302 182在 RtBCD 中，tanDBC .DCBC 824 13解这类问题主要是综合运用勾股定理、锐角三角函数定义、直角三角形的两个锐角互为余角解题时应尽量使用原始数据，能用乘法算就尽量不用除法四、解直角三角形在实际中的应用【例 4】 如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度 AB 小刚在 D 处用高 1.5 m 的测角仪 CD，测得教学楼顶端 A 的仰角为 30，然后向教学楼前进 40 m 到达E，又测得教学楼顶端 A 的仰角为 60
8、.求这幢教学楼的高度 AB解：在 RtAFG 中，tanAFG ，AGFGFG .AGtan AFG AG3在 Rt ACG 中，tanACG ，AGCGCG AG.AGtan ACG 3又 CGFG40，即 AG 40，3AG3AG20 .AB20 1.5(米)3 3答：这幢教学楼的高度 AB 为(20 1.5)米3利用解直角三角形的知识解决实际问题时，其步骤是：(1)将实际问题抽象为数学 问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题 )(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数去解直角三角形为建设“宜居宜业宜游”山水园林式城市，内江市正在 对城区沱江河段进行区域性景观打造如图，某施工单位为
9、测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点 A，再在河这边沿河边取两点 B，C，在点 B 处测得点 A 在北偏东 30方向上，在点 C 处测得点A 在西北方向上，量得 BC 长为 200 米， 请你求出该河段的 宽度(结果保留根号)知能优化训练1(2012 四川乐山)如图，在 RtABC 中，C90，AB2BC，则 sin B 的值为( )A B C D112 22 322(2011 山东日照)在 RtABC 中，C 90 ，把A 的邻边与对边的比叫做A 的余切，记作 cot A .则下列关系式中不成立的是()baAtan Acot A1 Bsin Atan Acos A Ccos Acot
10、 Asin A Dtan 2Acot 2A13(2012 湖南株洲)数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度小民所在的学习小组在距离旗杆底部 10 米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为 60，则旗杆的高度是_米4(2012 山东济宁)在ABC 中，若A，B 满足 20，则|cos A 12| (sin B 22)C _.5(2011 广东湛江)如图，某军港有一雷达站 P，军舰 M 停泊在雷达站 P 的南偏东 60方向 36 海里处另一艘军舰 N 位于军舰 M 的正西方向，与雷达站 P 相距 18 海里，求：2(1)军舰 N 在雷达站 P 的什么方向？(2)两军舰 M， N 的距离(
11、结果保留根号 )1在 RtABC 中，C90，sin A ，则 cos B 的值等于 ()45A B C D35 45 34 552河堤横断面如图所示，堤高 BC5 米，迎水坡 AB 的坡比是 1 (坡比是坡面的3铅直高度 BC 与水平宽 度 AC 之比)，则 AC 的长是()A5 米 B10 米 C15 米 D10 米3 33如图所示，在数轴上点 A 所表示的数 x 的范围是( )A sin 30xsin 60 Bcos 30x cos 4532 32C tan 30xtan 45 D cot 45xcot 3032 324如图，在梯形 ABCD 中，ADBC ，ACA B，ADCD ，co
12、sDCA ，BC10，则 AB 的值是()45A3 B6 C8 D95如图所示，边长为 1 的小正方形构成的网格中，半径为 1 的O 的圆心 O 在格点上，则AED 的正切值等于_6如图所示，某河堤的横断面是梯形 ABCD，BCAD ，迎水坡 AB 长 13 米，且tan BAE ，则河堤的高 BE 为_米1257一轮船以每小时 20 海里的速度沿正东方向航行，上午 8 时，该船在 A 处测得某灯塔位于它的北偏东 30的 B 处 (如图)，上午 9 时行至 C 处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是_海里(结果保留根号) 8如图所示，小明在家里楼顶上的点 A 处，测量建在与小明家
13、楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点 A 处看电梯楼顶部点 B 处的仰角为 60，在点 A 处看这栋电梯楼底部点 C 处的俯角为 45，两栋楼之间的距离为 30 m，则电梯楼的高 BC 为_米( 精确到 0.1)( 参考数据： 1.414， 1.732)2 39某商场为缓解我市“停车难”的问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，ABBD，BAD18， C 在 BD 上，BC 0.5 m根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入小明认为 CD 的长就是所限制的高度，而小亮则认为应该以 CE 的长作为限制的高度小明和小亮谁说的
14、对？请你判断并计算出正确的结果( 结果用三角函数表示) 参考答案基础自主导学自主测试1D2.B3.54解：如图，过 A 作 ADCB，垂足为点 D.在 RtADC 中，CD36，CAD60.AD 12 20.76(米)CDtan 60 363 3在 RtADB 中，AD20.76，BAD37.BDADtan 3720.760.75 15.5715.6( 米)答：气球应至少再上升 15.6 米规律方法探究变式训练解：如图所示，过 点 A 作 ADBC 于点 D.据题意，ABC90 3060，ACD45 .CAD45， ACDCAD，ADCD，BDBCCD200AD.在 RtABD 中，tan ABD ，ADBDADBDtan ABD(200AD)tan 60 (200 AD)3AD AD200 (米)3 3AD (300100 )米20033 1 3答：该河段的宽度为(300100 )米3知能优化训练中考回顾1C2.D310 4.75
