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1、质数与合数与质数有关的构造问题,通过分解质因数求解的整数问题1、有人说:“任何7个连续整数中一定有质数”请你举一个例子,说明这句话是错的 【分析与解】 例如连续的7个整数:842、843、844、845、846、847、848分别能被2、3、4、5、6、7、8整除,电就是说它们都不是质数评注:有些同学可能会说这是怎么找出来的,翻质数表还是,我们注意到(n+1)!+2,(n+1)!+3,(n+1)!+4,(n+1)!+(n+1)这n个数分别能被2、3、4、(n+1)整除,它们是连续的n个合数其中n!表示从1一直乘到n的积,即123n2、从小到大写出5个质数,使后面的数都比前面的数大12 【分析与
2、解】 我们知道12是2、3的倍数,如果开始的质数是2或3,那么即与12的和一定也是2或3的倍数,将是合数,所以从5开始尝试有5、17、29、41、53是满足条件的5个质数39个连续的自然数,它们都大于80,那么其中质数最多有多少个?【分析与解】 大于80的自然数中只要是偶数一定不是质数,于是奇数越多越好,9个连续的自然数中最多只有5个奇数,它们的个位应该为1,3,5,7,9但是大于80且个位为5的数一定不是质数,所以最多只有4个数验证101,102,103,104,105,106,107,108,109这9个连续的自然数中101、103、107、109这4个数均是质数也就是大于80的9个连续自
3、然数,其中质数最多能有4个4. 用1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字组成质数,如果每个数字都要用到并且只能用一次,那么这9个数字最多能组成多少个质数? 【分析与解】要使质数个数最多,我们尽量组成一位的质数,有2、3、5、7均为一位质数,这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用有1、4、8、9可以组成质数41、89,而6可以与7组合成质数67所以这9个数字最多组成了2、3、5、41、67、89这6个质数53个质数的倒数之和是,则这3个质数之和为多少? 【分析与解】设这3个质数从小到大为a、b、c,它们的倒数分别为、,计算它们的和时需通分,且通分后的分母为abc,求和得到的分
4、数为,如果这个分数能够约分,那么得到的分数的分母为a、b、c或它们之间的积现在和为,分母1986=23331,所以一定是a=2,b=3,c=331,检验满足所以这3个质数的和为2+3+331=3366已知一个两位数除1477,余数是49求满足这样条件的所有两位数【分析与解】 有1477除数=商49,那么1477-49:除数商,所以,除数商=1428=223717 一般情况下有除数大于余数即除数大于49且整除1428,有84、51、68满足 所以满足题意的两位数有51、68、847有一种最简真分数,它们的分子与分母的乘积都是140如果把所有这样的分数从小到大排列,那么第三个分数是多少? 【分析与
5、解】 有140=2257,因为这些分数的分子与分母的乘积均为140,当分母越大时,分子越小,所以对应的分数也越小 有分母从大到小依次为140、70、35、28、20、14、10、7、5、4、2、1; 对应分子从小到大依次为1、2、4、5、7、10、14、20、28、35、70、140; 对应分数从小到大依次为而、其中第三个最简真分数为8某校师生为贫困地区捐款1995元这个学校共有35名教师,14个教学班各班学生人数相同且多于30人不超过45人如果平均每人捐款的钱数是整数,那么平均每人捐款多少元?【分析与解】 这个学校最少有35+1430=455名师生,最多有35+1445=665名师生,并且师
6、生总人数能整除19951995=35133,在455665之间的约数只有5133=665,所以师生总数为665人,则平均每人捐款1995665=3元9在做一道两位数乘以两位数的乘法题时,小马虎把一乘数中的数字5看成8,由此得乘积为1872那么原来的乘积是多少? 【分析与解】 1872=22223313=口口口口,其中某个口为8,一一验证只有:1872=4839,1872=7824满足当为1872=4839时,小马虎错把5看成8,也就是错把45看成48,所以正确的乘积应该是4539=1755当为1872=7824时,小马虎错把5看成8,也就是错把75看成78,所以正确的乘积应该是7524=180
7、0所以原来的积为1755或180010.已知两个数的和被5除余1,它们的积是2924,那么它们的差等于多少?【分析与解】 2924=221743=AB,且有A+B被5除余l,则和的个位为1或6 有417+43=68+43=11l,也就是说68、43为满足题意的两个数 它们的差为68-43=2511在射箭运动中,每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶),或者是不超过10的自然数甲、乙两名运动员各射了5箭,每人5箭得到的环数的积都是1764,但是甲的总环数比乙少4环求甲、乙的总环数各是多少? 【分析与解】 1764=223377,1764对应为5个小于10的自然数乘积 只能是1764=43377 =
8、26377 =22977 =16677 =14977对应的和依次为4+3+3+7+7=24,2+6+3+7+7=25,2+2+9+7+7=27,1+6+6+7+7=27,l+4+9+7+7=28 对应的和中只有24,28相差4,所以甲的5箭环数为4、3、3、7、7,乙的5箭环数为1、4、9、7、7所以甲的总环数为24,乙的总环数为2812在面前有一个长方体,它的正面和上面的面积之和是209,如果它的长、宽、高都是质数,那么这个长方体的体积是多少? 【分析与解】 如下图,设长、宽、高依次为a、b、c,有正面和上面的和为ac+ab=209 ac+ab=a(c+b)=209,而209=1119 当a
9、=11时,c+b=19,当两个质数的和为奇数,则其中必定有一个数为偶质数2,则c+b=2+17; 当a=19时,c+b=11,则c+b=2+9,b为9不是质数,所以不满足题意所以它们的乘积为11217=37413.一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数,它的体积是39270立方厘米,那么这个长方体的表面积是多少平方厘米?【分析与解】方法一:39270=23571117,为三个连续自然数的乘积,而343434即最接近39270,39270的约数中接近或等于34的有35、34、33,有333435=39270所以33、34、35为满足题意的长、宽、高则长方体的表面积为:2(长宽+宽高+高长)=2
10、(3334+3435+3533)=6934(平方厘米)方法二:39270=23571117,为三个连续自然数的乘积,考虑质因数17,如果17作为长、宽或高显然不满足当17与2结合即34作为长方体一条边的长度时有可能成立,再考虑质因数7,与34接近的数3236中,只有35含有7,于是7与5的乘积作为长方体的一条边的长度而39270的质因数中只剩下了3和1l,所以这个长方体的大小为333435长方体的表面积为2(+)=2(1190+1155+1122)=23467=6934(平方厘米)14一个长方体的长、宽、高都是整数厘米,它的体积是1998立方厘米,那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米?
11、【分析与解】 我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时,它们相互越接近,和越小如3个数的积为18,则三个数为2、3、3时和最小,为81998=233337,37是质数,不能再分解,所以2333对应的两个数应越接近越好有2333=69时,即1998=6937时,这三个自然数最接近它们的和为6+9+37=52(厘米)15如果两数的和是64,两数的积可以整除4875,那么这两个数的差等于多少? 【分析与解】4875=355513, 有ab为4875的约数,且这两个数的和为64发现39=313、25=55这两个数的和为64,所以39、25为满足题意的两个数 那么它们的差为39-25=14 评注:由上题可推知,当两个数的和一定时,这两个数越接近,积越大,所以两个和为64的数的乘积最大为3232=1024,而积最小为163=63 而4875在641024之间的约数有65,195,325,375,975等 我们再对65,195,325,375,975等一一验证 严格的逐步计算,才不会漏掉满足题意的其他的解而在本题中满足题意的只有39、25这组数