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1、8.5空间向量及其运算,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.空间向量的有关概念 (1)空间向量:在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量,其大小叫做向量的长度或模. (2)相等向量:方向相同且模相等的向量. (3)共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量,a平行于b记作ab. (4)共面向量:平行于同一平面的向量叫做共面向量.,-4-,知识梳理,双击自测,2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b0),ab存在R,使a=b. (2)共面向量定理:若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面存在唯一的有序实
2、数对(x,y),使p=xa+yb. 推论:设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任一点P都存在唯一的三个有序实数x,y,z,使 ,且x+y+z=1. (3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z使得p=xa+yb+zc.其中a,b,c叫做空间的一个基底.,-5-,知识梳理,双击自测,3.两个向量的数量积 (1)非零向量a,b的数量积ab=|a|b|cos. (2)空间向量数量积的运算律 结合律:(a)b=(ab); 交换律:ab=ba; 分配律:a(b+c)=ab+ac.,-6-,知识梳理,双击自测,4.空间向量的坐标表示及其
3、应用 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).,-7-,知识梳理,双击自测,D,-8-,知识梳理,双击自测,2.已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则(a+b)(a-b)的值为. 3.已知在一个60的二面角的棱上,如图有两个点A,B,AC,BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4 cm,AC=6 cm,BD=8 cm,则CD的长为.,-13,解析:a+b=(10,-5,-2),a-b=(-2,1,-6), (a+b)(a-b)=-20-5+12=-13.,-9-,知识梳理,双击自测,4.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中
4、,M,N分别是A1B1和BB1的中点,那么直线AM和CN所成角的余弦值为.,-10-,知识梳理,双击自测,-11-,知识梳理,双击自测,5.如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,求:,-12-,知识梳理,双击自测,-13-,知识梳理,双击自测,-14-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.理解空间向量的概念、性质、运算,注意和平面向量类比,找区别与联系. 2.用向量方法解决立体几何问题,树立“基底”意识,利用基向量进行线性运算.,-15-,考点一,考点二,考点三,空间向量的线性运算(考点难度) 例1(1)如图,在长方体ABCD-A1
5、B1C1D1中,O为AC的中点.,-16-,考点一,考点二,考点三,-17-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求,另外解题时应结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需向量. 2.空间向量问题实质上是转化为平面向量问题来解决的,即把空间向量转化到某一个平面上,利用三角形法则或平行四边形法则来解决.,-18-,考点一,考点二,考点三,-19-,考点一,考点二,考点三,-20-,考点一,考点二,考点三,共线定理、共面定理的应用(考点难度) 例2(1)(2015长沙模拟改编)有以下命
6、题: 如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么a,b的关系是不共线; O,A,B,C为空间四点,且向量 不构成空间的一个基底,那么点O,A,B,C一定共面; 已知向量a,b,c是空间的一个基底,则向量a+b,a-b,c也是空间的一个基底. 其中正确的命题是.,(2)如图,空间两个平行四边形共边AD,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM= BD,AN= AE.求证:MN平面CDE.,-21-,考点一,考点二,考点三,解:(1)对于,“如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么a,b的关系一定是共线”,所以错误,正确.,-22-,考点一,考点二,考点三,-23-,
7、考点一,考点二,考点三,-24-,考点一,考点二,考点三,-25-,考点一,考点二,考点三,空间向量的数量积及其应用(考点难度) 考情分析从近几年的高考试题看,空间向量的数量积是高考的热点内容,题目有一定难度.题目的常见类型有:(1)垂直问题;(2)求长度;(3)求夹角.,-26-,考点一,考点二,考点三,类型一利用空间向量的数量积证明垂直 例3(1)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是(),(2)直三棱柱ABC-ABC中,AC=BC=AA,ACB=90,D,E分别为AB,BB的中点.求证:CEAD.,-27-,考点一,考点二,考点三,-2
8、8-,考点一,考点二,考点三,类型二利用空间向量的数量积求长度 例4(1)已知a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),求|2a+b|; (2)如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为平行四边形,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60.求AC1的长.,-29-,考点一,考点二,考点三,类型三利用空间向量的数量积求夹角 例5(1)已知2a+b=(0,-5,10),c=(1,-2,-2),ac=4,|b|=12,则以b,c为方向向量的两直线的夹角为. (2)三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等, BAA1=CAA1=60,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦
9、值为.,60,-30-,考点一,考点二,考点三,-31-,考点一,考点二,考点三,-32-,考点一,考点二,考点三,对点训练 如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M,N分别是AB,CD的中点. (1)求证:MNAB,MNCD; (2)求MN的长; (3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.,-33-,考点一,考点二,考点三,-34-,考点一,考点二,考点三,-35-,易错警示空间向量运算错误,-36-,-37-,-38-,-39-,-40-,高分策略1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础. 2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题;利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题. 3.利用向量解立体几何题的一般方法:把线段或角度转化为用向量表示,用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算或证明去解决问题.,
