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1、河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题 工程力学第六章 超静定问题2024年年8月月3日日河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题 6-1 6-1 超静定问题及其解法超静定问题及其解法6-2 6-2 拉压超静定问题拉压超静定问题第六章第六章 超静定问题超静定问题6-3 6-3 扭转超静定问题扭转超静定问题6-4 6-4 弯曲超静定问题弯曲超静定问题河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六
2、章第六章 超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题 6-1 6-1 6-1 6-1 超静定问题及其解法超静定问题及其解法超静定问题及其解法超静定问题及其解法1. 1. 1. 1. 拉压超静定问题引例拉压超静定问题引例拉压超静定问题引例拉压超静定问题引例(a)(b) 图图a a所示静定杆系所示静定杆系, ,为减小杆为减小杆1 1、2 2中的内力或节点中的内力或节点A A的的位移，而增加了杆位移，而增加了杆3 3 ，构成，构成超静定杆系超静定杆系( (如图如图b)b) 。河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题
3、此时有此时有3 3个未知内力个未知内力FN1 、FN2 、FN3，但只有两个独立的，但只有两个独立的平衡方程平衡方程 一次超静定问题一次超静定问题。(b)河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题 2.2.2.2.求解方法和步骤：求解方法和步骤：求解方法和步骤：求解方法和步骤： 对拉压超静定问题，主要目标是对拉压超静定问题，主要目标是求解未知的轴力求解未知的轴力求解未知的轴力求解未知的轴力。单。单凭凭静力平衡方程静力平衡方程不能求解全部未知力，必须从不能求解全部未知力，必须从变形几何相变形几何相变形几何相变形几
4、何相容条件容条件容条件容条件、物理关系物理关系物理关系物理关系和和静力学平衡条件静力学平衡条件静力学平衡条件静力学平衡条件三方面入手，才可使三方面入手，才可使超静定问题得以求解。超静定问题得以求解。 列列静力平衡方程静力平衡方程静力平衡方程静力平衡方程； 根据变形几何相容条件，列根据变形几何相容条件，列变形变形几何相容方程；几何相容方程； 列物理方程列物理方程（拉压胡克定律）（拉压胡克定律） ； 代人代人，得到得到补充方程补充方程补充方程补充方程； 与与联立求解联立求解联立求解联立求解，即可求出所有未知力；，即可求出所有未知力； 按题目要求进一步求解。按题目要求进一步求解。解题步骤：解题步骤：
5、解题步骤：解题步骤：河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题 3. 3. 3. 3. 注意事项注意事项注意事项注意事项 “多余多余多余多余”约束力数约束力数约束力数约束力数( ( ( (超静定次数超静定次数超静定次数超静定次数) ) ) ) = = = = 补充方程数补充方程数补充方程数补充方程数( ( ( (变形几变形几变形几变形几何相容条件数何相容条件数何相容条件数何相容条件数) ) ) )，因而任何超静定问题都是可以求解的。，因而任何超静定问题都是可以求解的。 (1) (1) 超静定问题求解的关键在于超
6、静定问题求解的关键在于列出变形几何相容方列出变形几何相容方列出变形几何相容方列出变形几何相容方程程程程，所以除，所以除受力图受力图受力图受力图外，还要画出外，还要画出变形图变形图变形图变形图。对拉压超静定。对拉压超静定问题，同一杆是问题，同一杆是拉拉拉拉还是还是压压压压，两图中要保持一致两图中要保持一致两图中要保持一致两图中要保持一致。 (2) (2) 不管伸长还是缩短，不管伸长还是缩短，变形量一律取其大小变形量一律取其大小变形量一律取其大小变形量一律取其大小。河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题 6-2
7、 6-2 6-2 6-2 拉压超静定问题拉压超静定问题拉压超静定问题拉压超静定问题例例6-1 图示杆抗拉刚度图示杆抗拉刚度EA， 求杆端的支反力。求杆端的支反力。解：解：平衡方程：平衡方程：变形几何相容方程：变形几何相容方程：一、一、一、一、拉压超静定问题解法拉压超静定问题解法拉压超静定问题解法拉压超静定问题解法河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题 物理方程：物理方程：联解联解、得：得：思考：思考：如杆件下端与如杆件下端与支座支座B有一微小距离，有一微小距离，又该如何计算？又该如何计算？代人代人，得补充方
8、程，得补充方程注意：比例分配关系。注意：比例分配关系。河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题 例例例例6-26-2 1 1、2 2、3 3三杆用铰链连接如图，三杆用铰链连接如图，三杆用铰链连接如图，三杆用铰链连接如图，3 3杆长度和各杆刚度杆长度和各杆刚度杆长度和各杆刚度杆长度和各杆刚度如图所示。求：外力如图所示。求：外力如图所示。求：外力如图所示。求：外力P P 作用下，各杆的内力。作用下，各杆的内力。作用下，各杆的内力。作用下，各杆的内力。CPABD123LEAEAE3A3解：解：平衡方程：平衡方程：（
9、1）河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题 变形几何方程：变形几何方程：CABD123A1物理方程：物理方程：（2）（3）联解（联解（1）、（）、（2） 、（、（3）式得：）式得：解答表明，各杆的轴力与其本身的刚度其它杆的刚度之比有关。解答表明，各杆的轴力与其本身的刚度其它杆的刚度之比有关。河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题 例例6-36-3 如图所示刚性梁如图所示刚性梁ABAB由由1 1、2 2、3 3杆悬挂，三杆
10、的刚度均杆悬挂，三杆的刚度均为为EAEA，长度均为，长度均为l l 。求。求P P力作用力作用下三杆的轴力。下三杆的轴力。解：解：（1）平衡方程平衡方程假设均受拉力。假设均受拉力。河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题 变形几何相容方程：变形几何相容方程：变形几何相容方程：变形几何相容方程：（2）物理方程：物理方程：（3）L3L2L1补充方程：补充方程：（4）即即河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题 联解（联解（1）、
11、（）、（4）式得：）式得：（拉）（拉）（拉）（拉）（压）（压）河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题 此时，变形协调条件变为此时，变形协调条件变为注意：注意：受力图与变形图必受力图与变形图必须一致！须一致！L2=(L1-L3)/2河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题 例例6-4 图示结构，图示结构，AB为刚性梁，为刚性梁，1、2两杆刚度相同。两杆刚度相同。 求求1、2杆的受力。杆的受力。平衡方程平衡方程:变形关系变形关
12、系:物理关系物理关系:联立解出联立解出:河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题 例例6-5 图示为一平面桁架，各杆刚度相同。求各杆的轴力。图示为一平面桁架，各杆刚度相同。求各杆的轴力。由对称性，有由对称性，有由由A点平衡点平衡由由B点平衡点平衡河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题 变形关系：变形关系：物理关系：物理关系：由以上关系式求得：由以上关系式求得：AB河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学
13、第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题 二、装配应力和温度应力1. 装配应力 超静定杆系(结构)由于存在“多余”约束，如果某些杆件在制造时长度存在误差，则组装时各杆都要发生弹性变形，同时产生附加内力装配内力，以及相应的装配应力(预应力)。引例：引例：河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题 (a)静力学关系静力学关系 图图a中所示杆系中，已知中所示杆系中，已知 E1A1= E2A2 ，E E3 3A A3 3 ，杆，杆3的制造长的制造长度短了度短了D De，装配后各杆的位置将如，装
14、配后各杆的位置将如图中虚线所示。此时，结点在图中虚线所示。此时，结点在A 处，处，杆杆1 1、2 2、3产生装配内力产生装配内力F FN1N1、F FN2N2、FN3( (图图b) )，求装配内力。，求装配内力。河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题 变形几何相容条件变形几何相容条件列出补充方程列出补充方程联立联立、，可得装配内力，可得装配内力，( (拉力）拉力）(a)即河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题 至于各杆横
15、截面上的装配应力，只需将装配内力至于各杆横截面上的装配应力，只需将装配内力( (轴力轴力) )除以杆的横截面面积即可。除以杆的横截面面积即可。 由此可见，求解超静定杆系由此可见，求解超静定杆系由此可见，求解超静定杆系由此可见，求解超静定杆系( ( ( (结构结构结构结构) ) ) )中的装配内力的中的装配内力的中的装配内力的中的装配内力的关键关键关键关键，仍在于仍在于仍在于仍在于根据变形几何相容条件根据变形几何相容条件根据变形几何相容条件根据变形几何相容条件，并结合，并结合，并结合，并结合应用物理关系列出补充应用物理关系列出补充应用物理关系列出补充应用物理关系列出补充方程方程方程方程。（压力）
16、（压力）河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题 例题例题6-3-3 相同的钢杆相同的钢杆1、 2，两端用刚性块连接在一起两端用刚性块连接在一起( (图图a) )，其长度，其长度l =200 mm，直径，直径d =10 mm。再将铜杆。再将铜杆3( (图图b) )装配装配在对称的位置在对称的位置( (图图c) )，其长度为，其长度为200.11 mm，截面截面为为矩形：矩形：20 mm30 mm。试求各杆横截面。试求各杆横截面上的应力。已知：钢的弹性模上的应力。已知：钢的弹性模量量E=210 GPa，铜的弹性
17、模量，铜的弹性模量E3=100 GPa。河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题 解解：1. 如图d所示，有三个未知的装配内力FN1、 FN2 、FN3，根据对称关系可判断FN1=FN2，故未知力只有二个，但只能再列出一个独立的静力平衡方程，所以为一次超静定问题。(d)静力平衡方程河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题 2. 变形相容条件(图c)为D Dl3 是指杆是指杆3在装配后的缩短量（大小），不带负号。在装配后的缩短
18、量（大小），不带负号。3. 利用物理关系，得补充方程：河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题 4. 将补充方程与平衡方程联立求解得： 所得结果为正，说明原先假定杆所得结果为正，说明原先假定杆1、2的装配内力为拉的装配内力为拉力，杆力，杆3的装配内力为压力是正确的。的装配内力为压力是正确的。5. 各杆横截面上的装配应力如下：（拉应力）（压应力）河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题 2 . 温度应力 由于由于超静定杆系存在
19、超静定杆系存在“多余多余”约束约束，杆件因温度变化，杆件因温度变化产生的伸长或缩短，会受到限制，从而产生温度内力及温产生的伸长或缩短，会受到限制，从而产生温度内力及温度应力度应力。 分析温度应力问题时，温度应力问题时，注意注意：杆的：杆的变形变形包括包括两部分两部分： 由由温度变化温度变化引起的热胀冷缩变形；引起的热胀冷缩变形； 与与温度内力温度内力对应的伸缩变形。对应的伸缩变形。河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题 例题例题6-4-4* * 两端与刚性支座连接的等截面杆两端与刚性支座连接的等截面杆( (
20、图图a) )，当温，当温度升高度升高D Dt 时，试求横截面上的温度应力。已知杆的横截面时，试求横截面上的温度应力。已知杆的横截面面积为面积为A，材料的弹性模量为，材料的弹性模量为E，线膨胀系数为，线膨胀系数为 l。(a) 解解: : 1. 由平衡方程只能判断杆两端受到一对大小相等由平衡方程只能判断杆两端受到一对大小相等的轴向压力（的轴向压力（约束力）约束力），但无法求出压，但无法求出压力力的大小，可见这的大小，可见这是一次超静定问题。是一次超静定问题。河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题 2. 假想解除
21、右端约束，假想解除右端约束，杆由于温度升高而产生伸长变杆由于温度升高而产生伸长变形；实际上，由于两端固定约束，杆件伸长变形将被阻止，形；实际上，由于两端固定约束，杆件伸长变形将被阻止，杆端会受到一对压力杆端会受到一对压力(杆端约束力杆端约束力)作用。作用。它所产生的轴向压它所产生的轴向压缩变形，应该能够抵消热膨胀伸长变形，即热膨胀伸长变缩变形，应该能够抵消热膨胀伸长变形，即热膨胀伸长变形和形和杆端约束力杆端约束力缩短变形应满足变形几何相容条件。缩短变形应满足变形几何相容条件。 变形几何相容方程河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定
22、问题超静定问题超静定问题 3. 补充方程为补充方程为4. 温度内力（轴力）温度内力（轴力）5. 杆横截面上的温度应力为杆横截面上的温度应力为河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题 若该杆为钢杆而若该杆为钢杆而 l =1.210- -5/( (C)，E=210GPa，当温当温度升高度升高D Dt =40C 时，有时，有（压应力）（压应力）其结果与截面积无关。其结果与截面积无关。 铁路上的无缝长钢轨在温度变化时由于不能自由伸缩，铁路上的无缝长钢轨在温度变化时由于不能自由伸缩，其横截面上会产生相当可观的温度应力。
23、其横截面上会产生相当可观的温度应力。河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题 6-3 6-3 6-3 6-3 扭转超静定问题扭转超静定问题扭转超静定问题扭转超静定问题例题例题例题例题6-5 6-5 6-5 6-5 试求图示圆杆两端的支反力偶矩。试求图示圆杆两端的支反力偶矩。试求图示圆杆两端的支反力偶矩。试求图示圆杆两端的支反力偶矩。 (2) (2) 补充方程补充方程解解解解:(1) :(1) :(1) :(1) 静力平衡方程静力平衡方程静力平衡方程静力平衡方程 (3) (3) 联解方程联解方程(1)(1)、(
24、2)(2)，得，得复习复习:6-13 习题习题( (P205) 6-1 预习预习:I-14河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题 两种基本变形小结两种基本变形小结两种基本变形小结两种基本变形小结轴力轴力轴力轴力F F F FN N N N 拉为正，压为负拉为正，压为负拉为正，压为负拉为正，压为负轴向拉压杆轴向拉压杆轴向拉压杆轴向拉压杆三、应力三、应力三、应力三、应力 横截面上横截面上横截面上横截面上正应力正应力正应力正应力斜截面应力：斜截面应力： 拉为正；拉为正； 二、内力二、内力二、内力二、内力符号规定符
25、号规定符号规定符号规定一、外力一、外力一、外力一、外力扭转圆轴扭转圆轴扭转圆轴扭转圆轴横截面正应力横截面正应力横截面正应力横截面正应力分布规律：分布规律：分布规律：分布规律： 均匀分布均匀分布均匀分布均匀分布横截面上横截面上切应力切应力切应力切应力 扭矩扭矩扭矩扭矩T T T T右手螺旋法则右手螺旋法则右手螺旋法则右手螺旋法则横截面切应力分横截面切应力分布规律：布规律： 垂直垂直垂直垂直直径线性分布直径线性分布直径线性分布直径线性分布 四、材料在拉伸和压缩时的力学性能四、材料在拉伸和压缩时的力学性能四、材料在拉伸和压缩时的力学性能四、材料在拉伸和压缩时的力学性能1. 1. 低碳钢拉伸时的力学性
26、能：低碳钢拉伸时的力学性能： 四个阶段、三个极限应力四个阶段、三个极限应力2. 2. 材料的力学性能特征值：材料的力学性能特征值： 6 6个指标个指标3. 3. 两类材料力学性能的比较：两类材料力学性能的比较： 变形强度两方面变形强度两方面河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题 两种基本变形小结两种基本变形小结两种基本变形小结两种基本变形小结轴向拉压杆轴向拉压杆轴向拉压杆轴向拉压杆五、变形五、变形五、变形五、变形 三类强刚度计算问题：三类强刚度计算问题：三类强刚度计算问题：三类强刚度计算问题：校核（校核（校
27、核（校核（105%105%）、设计（取整）、确定许可荷载（平衡）、设计（取整）、确定许可荷载（平衡）、设计（取整）、确定许可荷载（平衡）、设计（取整）、确定许可荷载（平衡）。扭转圆轴扭转圆轴扭转圆轴扭转圆轴六、强度条件：六、强度条件：六、强度条件：六、强度条件：七、刚度条件：七、刚度条件：七、刚度条件：七、刚度条件：l l 段段等直圆轴的等直圆轴的等直圆轴的等直圆轴的扭转角扭转角扭转角扭转角：l l 段段等直杆变形等直杆变形等直杆变形等直杆变形：拉压胡克定律拉压胡克定律拉压胡克定律拉压胡克定律河南理工大学万方科技学院河南理工大学万方科技学院 材料力学 第六章第六章第六章第六章 超静定问题超静定
28、问题超静定问题超静定问题 小小小小 结结结结一、概念一、概念 超静定问题超静定问题仅用静力平衡条件不能确定全部未知力的问题。仅用静力平衡条件不能确定全部未知力的问题。 超静定次数超静定次数平衡方程少于未知力的个数。平衡方程少于未知力的个数。 多余未知力（约束）多余未知力（约束） 超过平衡方程个数的未知力超过平衡方程个数的未知力( (约束约束) )。 求解超静定问题一般利用求解超静定问题一般利用几何几何,物理物理,静力学静力学三方面关系补充变形协调方程。三方面关系补充变形协调方程。 （1 1）列静力平衡方程；列静力平衡方程； （2 2）由由变形几何关系和物理变形几何关系和物理 关系建立补充方程；关系建立补充方程；（3 3）联解方程求得多余约束联解方程求得多余约束 力，再求各截面轴力。力，再求各截面轴力。二、解题方法二、解题方法
