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1、静定结构刚度计算,9 概述,一、结构的位移,位移与变形的区别,位移指位置的变化。线位移主体一般是点，角位移主体一般是截面或杆件。 变形指物体在外部作用下，由于材料应变引起的尺寸或形状的变化。如杆件拉伸、弯曲、剪切等。 变形一般会引起位移。 位移不一定产生变形（刚体位移无变形）。,产生位移的原因,为了控制位移，需要起拱。,二、位移计算的目的, 刚度要求,在工程上，吊车梁允许的挠度1/600跨度； 房屋主梁允许挠度1/350跨度。 高层建筑框架结构，风荷载作用下的最大位移1/450高度， 最大层间位移1/550层高； 地震作用下的最大位移1/400高度； 最大层间位移1/500层高。, 超静定结构
2、的计算基础,超静定结构必须考虑几何条件(位移约束或变形协调)方可求解。, 施工要求,小变形 假定：变形很小以致于不影响荷载的作用，故可忽略变形对平衡方程的影响。,三、本章位移计算的基本假定,满足上述两个假定的结构体系称为线弹性体系。,线弹性 材料假定：材料服从虎克定律，应力应变成线性关系。,线弹性体系的特征,变形与作用力成正比。,基本假定,位移符号一般规则：,三、本章位移计算的基本假定,叠加原理适用。,线弹性体系的特征,变形与作用力成正比。,位移符号一般规则：,9-2 虚功原理 单位荷载法,功：力对物体作用的累计效果的度量 功=力力作用点沿力方向上的位移,实功：力在自身所产生的位移上所作的功,
3、F-广义力; -广义位移,根据能量守衡定律，外力和内力实功是相等的。,V-内力功,虚功方程,第一组外力和内力在第二组外力所产生的位移和变形上所作的虚功相等。这就是虚功原理。,虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功，作功的力 与相应的位移无关。,(a)力状态,(b)位移状态,结构位移计算的一般理论,结构位移计算的一般公式,虚功方程：,虚设 Pi = 1 (虚拟状态)：,结构位移的一般计算公式（单位荷载法）,表示虚拟状态中由虚设单位力Pi = 1所产生的内力,表示实际状态中结构杆件微段的变形。,表示实际状态中由于杆件变形引起的结构位移。,结构位移计算的单位荷载法,虚力原理的应用,根据结构位移计算的
4、一般公式,k 状态：实际状态，内力以FNP、MP、FQP 表示 对线弹性体系，有,线弹性体系杆件结构在荷载作用下，结构位移计算的一般公式,欲求点A竖直方向的位移 ，可在A点的竖直方向上加一个单位力,任取一微段 在此微段上其轴力产生的轴向变形为,弯矩M使微段左、右截面产生的相对转角为,剪力Q使微段左、右两截面产生的相对错动为,这种用虚设单位荷载法计算结构位移的方法称为单位荷载法。,各类结构的位移计算公式,梁和刚架,桁架,组合结构,9-3用积分法求梁的变形,研究梁在外力作用下的变形，目的在于把梁的变形限制在规定范围内，保证梁的正常工作。,挠度 ：梁任一横截面的形心的竖向位移,转角 ：一横截面相对原
5、来位置绕中性轴转过的角度,梁的刚度条件,-最大挠度,提高梁弯曲刚度的措施,1、增大梁的抗弯刚度EI 2、减小梁的跨度 3、改善荷载的作用情况,例 1：已知图示粱的E 、G, 求A点的竖向位移。,解：构造虚设单位力状态.,位移方向是如 何确定的?,例：计算图示简支梁中点 C的竖向位移 Cy和截面的转角 B。已知 EI为常数。,解 （1）求 Cy,以 A为坐标原点，则0 x l/2时，,因为对称，所以有,（2）求B,当0 x l,例：一简支梁由No28b工字钢制成，承受荷载作用如图所示。已知P=20kN，l=9m，E=210GPa，=170MPa,/l=1/500，试校核该梁的强度和刚度。,此梁强
6、度足够。,（3）刚度校核,不满足刚度条件，需要加大截面。,【例】图示钢桁架，P = 160kN，各杆用两个 80mm5mm的等边角钢(2L805)，A = 2791.2mm2 ， E = 210GPa， 试求 DCV,计算实际状态和虚拟状态下各杆的内力(轴力),如图,160KN,160KN,0,0,200,120,120,120,200,截面C、D 的相对竖向线位移为 :,截面C、D 的相对角位移为:,【例】图示简支梁，受到集中荷载FP作用，试求梁两端截面A、B的相对转角 jAB,解,虚拟状态,在截面A,B施加一对反向单位力偶,确定实际状态下的弯矩方程(参见弯矩图),虚拟状态下的弯矩方程(参见
7、弯矩图),正值表示与所设的一对单位力偶方向相同。,例：图示刚架，已知各杆的弹性模量E和截面惯性矩 I 均为常数，试求B点的竖向位移BV，水平位移BU, 和位移B 。,解: (1) 作出荷载作用下的弯矩图，写出各杆的弯矩方程。,横梁BC,竖柱CA,(2)求B 点的竖向位移BV,写出各杆单位力作用下的弯矩方程式，画出弯矩图,横梁BC,竖柱CA,(3) 求B点的水平位移BU,在B点加单位水平力。画出弯矩图并写出各杆的弯矩方程,横梁BC,竖柱CA,注意：负号表示位移的方向与假设的单位力的方向相反。,（4）求B点的线位移B,在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍计算位移的图乘法.,9-4 图乘法,刚架
8、与梁的位移计算公式为：,梁和刚架位移计算公式 ，当杆件数量较多，荷载复杂时，积分计算工作量很大，应用比较麻烦。一定条件下，上述积分计算可以简化。,直杆；EI为常量；两个弯矩图中至少有一个是直线。,图乘法求位移公式为:,图乘法小结,1. 图乘法的应用条件：,（1）等截面直杆，EI为常数；,（2）两个M图中应有一个是直线；,（3） 应取自直线图中。,2. 若 与 在杆件的同侧， 取正值；反之，取负值。,3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.,几种常见图形的面积和形心位置的确定方法,二次抛物线,图,图,例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角,解:,例. 试求图示结构B点竖向位移.,解:,MP
9、,Mi,图形分解,求,MP,M1,图形分解,求,MP,M1,当两个图形均 为直线图形时,取那 个图形的面积均可.,图形分解,求,Mi,取 yc的图形必 须是直线,不能是曲 线或折线.,图形分解,求,MP,Mi,图形分解,求,MP,Mi,试计算图示简支梁 A端的角位移 A和中点 C的竖向位移 Cy.EI为常数。,（1）作实际荷载作用时弯矩图,（2）建立虚拟荷载状态，并作弯矩图,（3）图乘求位移,试求图示外伸梁 A端的角位移 A及C端的竖向位移Cy。,（1）作实际荷载作用时弯矩图,（2）建立虚拟荷载状态，并作弯矩图,（3）图乘求位移,计算图示刚架中截面 D的水平线位移,用图乘法计算图示刚架C端的C
10、x、Cy、C,（1）建立虚拟荷载状态，并作弯矩图,（2）作刚架实际荷载作用时弯矩图,（3）图乘求位移,例 1. 图示梁EI 为常数，求C点竖向位移。,应用举例,例 2. 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 。,应用举例,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,例 3. 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。,应用举例,例 3. 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。,图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。,MP,练习,对称弯矩图,反对称弯矩图,对称结构的对称弯矩图与 其反对称弯矩图图乘,结果 为零.,作变形草图,绘制变形图时，应根据
11、弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。如：,求B点水平位移。,练习,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,注意:各杆刚度 可能不同,【例1】判别下列位移计算是否正确，并说明理由。如错误，改正之。,虚力状态,【例2】已知图示梁EI=1.5105kNm2，求给定荷载作用下C点的竖向位移。,【解】,【解】,【例3】求水压力作用下C、D之间的距离变化。已知各杆EI相同。,【解】,【例4】求C截面转角。已知各杆EI为常量。,【解】,如何求M图？,复杂刚架 先附属(BDE)，再基本(ACD),【例5】求E结点截面转角。已知各杆EI为常量。,【解】,【解】,【例6】求图示结构C点的竖向位移。已知I0.03
12、Am2。,9-5 静定结构在广义荷载作用下的位移计算,一、静定结构温度变化时的位移计算,温度变化产生位移计算的一般公式,等式及式中各项 的物理含义？,要求Dt的关键是温度产生的变形 的计算。,图示结构，设外侧温度升高t1，内侧温度升高t2 ，求K点的竖向位移Dkt。,为了分析 ，在结构杆件上任意截取ds微段。,设温度沿杆件截面厚度为线性分布（温度场假定），则,杆轴温度变化t0为：,上、下边缘的温差Dt为：,微段轴向伸长 为：,温度变化不产生剪应变：,微段截面相对转角 为：,其中a为材料的线膨胀系数。,虚力状态如下：,FP=1,由虚功原理，得,对于等截面直杆,轴力图 面积,弯矩图 面积,上式中的
13、符号判断规则：,注意：对于梁和刚架，一般荷载作用下通常忽略轴力产生的位移 ，而温度变化情况下轴力产生的位移不可忽略。,t0、Dt取绝对值。 若Dt引起的杆件弯曲变形方向和由 引起的弯曲方向一致，取正，反之取负。 若t0引起的杆件轴向伸缩和由 引起的杆件轴向伸缩一致，取正，反之取负。,【解】建立虚力状态,【例1】图示刚架施工时温度为20，试求冬季外侧温度 -10 ，内侧温度为0 时A点的竖向位移DAy。已知 l=4m，a=10-5，各杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4m。,虚力状态内力图为：,从而,二、静定结构支座位移时的位移计算,图(a)所示结构发生支座位移C1、C2、C3，欲求K点竖向位移D
14、KC，建立图(b)所示的虚力状态。,虚功方程为 We=Wi。,静定结构在支座位移情况下，既不产生内力，也不产生变形，只发生刚体位移，故,正确理解公式及其各符号的物理含义,【解】,【例1】求C点水平位移DCx。,位移方向根据数值计算结果的正负判别。,【例2】已知l=12m，h=8m， DBx=0.04m， DBy=0.06m，求A截面转角fA。,三、静定结构制造误差引起的位移计算,制造误差就是结构在位移状态的变形，故应用位移计算一般公式计算由制造误差引起的位移时，只需建立虚力状态并求与制造误差对应的结构内力，然后代入位移计算一般公式即可。,【例1】图示桁架每根上弦杆加长了8mm，求由此引起的A点
15、竖向位移。,【例2】图示结构AB、BC原设计为直杆，现加工成圆弧，求由此引起的D点竖向位移。,【解】本例制造误差为弯曲变形。建立虚力状态如下：,弯矩与弯曲变形一致为正,9-6 线弹性体系的互等定理,考虑体系受P1、P2共同作用的情况。,一、功的互等定理,先加P1、再加P2：,先加P1、再加P2：,先加P2、再加P1：,因为功与路径无关，是状态的函数，所以 ，从而,在线性变形体系中，I 状态的外力在 II 状态位移上所做虚功，等于 II 状态外力在 I 状态位移上所做虚功，简称功的互等。,推导方法二,状态作为力状态，状态作为位移状态：,状态作为力状态，状态作为位移状态：,比较可见，,适用条件：线弹性结构体系，小变形假定。,二、位移互等定理,对图示同一线弹性体系的两个不同受力状态应用功的互等定理，有,从而，,对同一线弹性体系，单位广义力1引起的与单位广义力2对应的位移，等于单位广义力2引起的与单位广义力1对应的位移。 位移互等定理,注意：力和位移可以是广义的；力和位移的对应关系。,【例】图示同一线弹性体系的两个不同受力状态中，哪两个位移互等？,(大小相同，量纲一致),位移互定定理的应用：超静定结构求解的矩阵力法中，结构柔度矩阵是对称矩阵。,三、反力互等定理,对图示同一线弹性体系的两个不同受力状态应用功的互等定理，有,从而，,对同一线弹性体系，第i个约束沿该约束方向发生单位位移时在
