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1、高等数学,无穷小的比较 函数连续与间断,2,一、无穷小的比较,例如,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,观察各极限,3,定义:,4,例1,解,例2,解,5,用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,例如,定理1,6,二、等价无穷小替换,定理2 (等价无穷小替换定理),证,7,常用等价无穷小:,8,例1,解,（1）因子中无穷小可以用等价无穷小代换；,（2）一般代数和中各无穷小不能分别替换.,注意,9,例2,解,解,错,代数和中各无穷小不能分别替换.,10,例3,解,11,例4,12,三、函数的连续性,1.函数的增量,13,2.函数在一点连续的定义,14,意注,15,例5,证,由
2、定义2知,16,3.单侧连续,定理,17,例6,解,右连续但不左连续 ,18,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区 间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.该区间称为函数的一个连续区间。,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,图形：,19,例7,证,20,四、函数的间断点,21,1.跳跃间断点,例8,解,22,2.可去间断点,例9,23,解,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点.,24,如例9中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,共同特点：,25,3.第二类间断点,例10,解,26,例11,解,注意 不要以为函数的间
3、断点只是个别的几个点.,27,狄利克雷函数,在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.,仅在x=0处连续, 其余各点处处间断.,28,在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续.,判断下列间断点类型:,29,例12,解,30,3.函数在一点连续必须满足的三个条件;,4.间断点的分类与判别;,第一类间断点:可去型,跳跃型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,间断点,(见下图),2.等价无穷小的替换；,求极限的又一种方法, 注意适用条件.,五、小结,1.无穷小比较 ：反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较.,31,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,32,思考题,思考题解答,33,但反之不成立.,例,但,
