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1、第5讲 椭 圆,1椭圆的概念 在平面内到两定点 F1 ，F2 的距离之和等于常数 2a( 大于 |F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆这两定点叫做椭圆的焦 点，两焦点间的距离叫做焦距 集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0， c0，且 a，c 为常数,ac,(1)若_，则集合 P 为椭圆； (2)若 ac，则集合 P 为线段； (3)若 ac，则集合 P 为空集,2椭圆的标准方程和几何性质,(续表),1直线 l：x2y20 过椭圆的左焦点 F1 和上顶点 B，,则该椭圆的离心率为(,),D, 1(m0) 的左焦点为,2 (2015 年广东) 已知椭圆,x2 25,y2
2、 m2,F1(4,0)，则 m(,),C,A9,B4,C3,D2,解析：由题意，得 m225429.因为 m0，所以 m3. 故选 C.,D,解析：焦距2c2，c1，故m4c21 或 4mc2 1，即m5 或 m3.故选D.,4(2011 年新课标)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中,心为原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，离心率为,.过 F1 的直线 l,交 C 于 A，B 两点，且ABF2 的周长为 16，那么椭圆 C 的方程,为_.,考点1,椭圆的定义及应用,解析：ABC 的周长是 4a4 .故选 C. 答案：C,(2)设 F1，F2 分别是椭圆,x2 25,y2 16,1
3、的左、右焦点，P 为椭,圆上一点，M 是 F2P 的中点，|OM|3，O 为坐标原点，则 P 点到椭圆右焦点的距离为_ 答案：4,不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则|AN|BN|_.,图 D41,答案：12,考点2,椭圆的标准方程,答案：B,答案：A,答案：C,【规律方法】(1) 求曲线的方程时，应从“定形”“定 焦”“定式”“定量”四个方面去思考“定形”是指首先要 清楚所求曲线是椭圆还是双曲线；“定焦”是指要清楚焦点在 x轴上还是在y轴上；“定式”是指设出相应的方程；“定量” 是指计算出相应的参数,(2)求椭圆的关键是确定 a，b 的值，
4、常利用椭圆的定义解 题在解题时应注意“六点”(即两个焦点与四个顶点)对椭圆 方程的影响当椭圆的焦点位置不明确，应有两种情况，亦可,设方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，这样可以避免分类讨,论,考点3,椭圆的几何性质,答案：B,图 D42,公式e求得；列出关于a，b，c的齐次式(或不等式)，利,【规律方法】讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点 求离心率的常用方法有以下两种：求得 a，c 的值，直接代入,c a,用 b2a2c2 消去 b，转化成 e 的方程(或不等式)求解,【互动探究】,答案：A,思想与方法,利用函数与方程的思想求椭圆的方程,顶点，斜率为 k(k0)的直线交 E 于 A，
5、M 两点，点 N 在 E 上， MANA.(导学号 58940118),(1)当|AM|AN 时，求|AMN 的面积； (2)当 2|AM|AN|时，求证 k2.,思路点拨：(1)先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标， 最后求AMN 的面积；(2)设M(x1，y1)，将直线AM 的方程与 椭圆方程组成方程组，消去y，用 k 表示x1，从而表示|AM|，同 理用k 表示|AN|，再由2|AM|AN|求k.,1椭圆定义的集合语言：PM|MF1| |MF2| 2a,2a |F1F2|往往是解决计算问题的关键，如果题目的条件能转化为 动点到两定点距离和为常数的问题可考虑利用椭圆定义，或涉 及椭圆上
6、的点到焦点的距离，也可考虑椭圆定义涉及椭圆的 定义时，要注意常数 2a 大于焦距 2c 这一隐含条件，即：,当|PF1|PF2|2a|F1F2|时，P的轨迹为椭圆；,当|PF1|PF2|2a|F1F2|时，P的轨迹为以 F1，F2为端点,的线段；,当|PF1|PF2|2a|F1F2|时，P 的轨迹不存在,2求曲线的方程时，应从“定形”“定焦”“定式”“定 量”四个方面去思考“定形”是指首先要清楚所求曲线是椭 圆还是双曲线；“定焦”是指要清楚焦点在 x 轴上还是在 y 轴 上；“定式”指设出相应的方程；“定量”是指计算出相应的 参数注意：若焦点位置不明确，可设方程为mx2ny21(m0， n0，
7、mn)，这样往往可以避免分类讨论 3讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点求离心率,的常用方法有以下两种：求得a，c的值，直接代入公式 e,c a,求得；列出关于 a，b，c 的齐次式(或不等式)，利用 b2a2 c2 消去 b，转化成 e 的方程(或不等式)求解,4直线与椭圆的位置关系主要涉及公共点问题相交弦问 题实际上就是直线与椭圆方程联立的方程组实数解的个数问 题，故直线与椭圆相交0；直线与椭圆相切0；直线 与椭圆相离 0. 若涉及弦长问题，常用弦长公式：|MN| ,在构造以 x 为自变量的目标函数时，要特别注意自变量 x 的范 围，忽略椭圆的这一几何性质是导致求最值出现错误的主要原 因,
