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1、动中寻定”处理函数零点存在问题零点问题是近年来高考的热点问题之一，其作为函数图像的一个重要的特征，是沟通函数、方程、不等式等内容的桥梁，在寻找解题思路、探求解题方法中起着重要的作用，高考试题中渗透零点知识的题型相当广泛。那么如何在条件不确定的情况下解决有关函数零点的问题？笔者发现在不确定因素中寻 找确定的因素进行解题，是非常有效的策略，以下笔者举例说明，供读者参考。一、二次函数零点问题的”动中寻定”例1已知a0，二次函数f(x)=2aX，2x-3-a。如果函数f(x)在区间(一1, 1)内有零点, 则a的取值范围为。分析 本题在求解过程中，如果不注意挖掘隐含条件，就会产生多种情况讨论：(1)函
2、数f (x)恰有一个零点在区间(一1, 1 )内，则有f(-1) f(1) ： 0 ；SO 彳 b彳-1 一 0J(1)0(3) f(1)=O (或f(-1)=O )时，另一个零点在区间(一 1, 1 )内，则有f(1) =0彳b-1 0 I2af (1) =0(或Jb0 -i2a1 )；(4)当f(X)只有一个零点时，该零点在区间(一1 , 1)内，则有:=0b一1 一 0，所以对称轴x0，且与y轴的2a截距-(3 a)0围为分析 此题若直接求解，需做如下讨论：首先由f(x)的函数值为非负，可以判断a 0。44当 x . 0 时，2|x-2|二 ax， 2x-4 二 ax 或 2x-4 二-
3、ax ，x0 或 x恒为正，2 a2 +a此时只要2 . a 0就可以保证有两个根；当 x _0时，| x2 5x 4|二 a | x -ax， x25x 4 二 ax或 x25x 4 - -ax，即x2 (5 -a)x 4=0或x2 (5 a)x 4 =0，由于后者的判别式辽=(5 - a)2 -16 - 0恒成立，再加 上后者所对应的函数开口向上，对称轴所对应的x小于零，可知后者始终有两个不同的负根，所以必使前者的方程无根，即 爲=(5 a)2-16 ：0 , 1 ：a ：9.综上所述：1 ：a : 2 .图： 可知y = f (x)与y = a有4个交点时1 ：a ： 2 .评析 数形结
4、合可将数与形建立起对应关系，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过对图 形的处理，化难为易，化抽象为直观。由于零点问题蕴含着丰富的数形结合思想，所以在高考试卷中一 直备受青睐。本题经过参数分离将不确定的函数零点问题，转化为确定函数的交点问题。此法简便易行 是解决此类问题的最佳解法。三、函数分离后的“动中寻定”对于某些复杂函数零点问题，我们无法利用常规方法或导数方法描绘出函数的图像，应考虑是否可 以将复杂的函数分解为我们所熟悉的基本初等函数来解决问题。例3函数f (x) =2 log05X 1的零点个数为 分析本题利用常规方法或导数法都不能直接求解。x1 1动中寻定：令 f (x) =2|l
5、og05X -0，即(3)x|log05X，设 g(x)=( )x，h(x) |log05X，1在同一个直角坐标中分别作出它们的图像，g (x) = ( )x的图像与h(x) = log 05x的图像的交点个数有两X个，故函数f(x) =2 log05x| 1的零点个数为2个。x1评析 本解法将复杂的f(X)=2 log05x| 1分解为两个我们所熟悉的函数，即g(x) = (；)x与h(x) =logo5X，借助两函数图像的交点来判定原函数零点个数。四、导数背景下函数零点的处理导数具有丰富的数学内涵和表现形式，它是解决函数的图象、性质以及方程、不等式等问题的利器，而导数的零点则是展示其工具性
6、的一个关键点，因此导函数的零点问题自然就成为高考题中的热点、难点。近几年全国各地数学高考中有关导数及其应用的综合问题，特别强调利用导数法解决函数零点问题。例4 设函数f(x)=l nx-ax， g(x)=exax，其中a为实数.若g(x)在(-1：)上是单调增函 数，试求f (x)的零点个数，并证明你的结论.分析 本题若利用函数、导数推理论证，需要做如下讨论：1由f (x) a，当a0时，f (x)0 , f (x)在(0:)上是增函数.x又 f -a -0, f (ea)二 a - aea二 a(1 -ea) _0，此时 f (x)有 1 个零点.1 1 . 1 1当- a 0 时，x (0
7、, ), f (x) 0 ； x (，f (x) ：0, fmax(x)二 f() = - l na-1 eaaa1 若-ln a -1 =0即a ，则f (x)有1个零点.e1若-lna-10即 a 0，则f (x)有2个零点，下面给出证明：e1a11由f( )=T - 0, f ( )=-l na-1-0，知f (x)在(0,)上有1个零点，下面只要证明f(x)在eeaa(丄，=)上有1个零点.a丄丄11只要证：f(ea)aea=a(右-ea) 0 即可aa12X2只要证：ea()，即证：e在x e时恒成立.a设 h(x)二ex -x2(x e), h (x) =ex -2x , h (x
8、)二 ex- 2 0在 x e时恒成立所以 h (x)在 x e 时是增函数h (x) h (e) = e -2e . e2_ 2e 0所以h(x)在x e时是增函数 h(x) . h(e) = ee- e2 .0,即exx2在x e时恒成立.综上，当a乞0或a二1时,e1(x)有1个零点；当0：a 时，f(x)有2个零点.eIn xy = a与y图像交点的个数.xIn x动中寻定：令f(x) =0 ,则a, f (x)的零点个数即为x令 h(x)二x 0，则 h/(x) 1密xx当 X (0, e),h (x) . 0;x (e, ：), h (x) :：0 ,0,e上单调递增，在e,牡:!
9、上单调递减，所以在1大值h (e)0eIn x当 x；0 时，h(x)二；xIn x当X-.；-时，h(x)0 . h(x)图像如图:x11由图可知：当 a0或a 时，f (x)有1个零点；当0 a 时，f (x)有2个零点.eeIn x评析 本解法将f (x)的零点个数问题转化为函数y二a与y图像交点的个数的问题.利用导xIn x数作出函数y的简图，数形结合，形象直观 .x总之，函数零点问题越来越受高考出题者的青睐，要想解决好这类问题，我们不仅需要具备扎实的基础知识和熟练的变形技巧，而且更需要具备灵活的思维，不断的变换角度，化难为易、化繁为简。只有这样，才能以不变应万变，进而提高创新能力和实践能力。
