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1、专题7 不等式,第1节 不等式性质与不等式解法 第2节 基本不等式及其应用 第3节 线性规划问题,目录,600分基础 考点考法 考点35 不等式的性质及应用 考点36 常见不等式的解法 考点37 与一元二次不等式有关的参数问题,第1节 不等式性质与不等式解法,考点35不等式的性质及应用,1.不等式的基本性质,2.不等式的运算性质(基本性质的推论),考点35不等式的性质及应用,考点35不等式的性质及应用,3.常用的证明方法 （1）分析法：从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，利用已知的一些定理，逐步探索，最后达到命题所给出的条件（或者一个已证明过的定理或一个明显的事实），这种证明方
2、法称为分析法. （2）综合法：从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明的命题，这种方法称为综合法. （3）反证法.,考点35不等式的性质及应用,考法1 不等式的性质及应用,考法2 利用不等式的性质证明不等关系,不等式的性质及应用,考点35,考点35不等式的性质及应用,考点35,考法1,不等式的性质及应用,1.应用不等式的性质解题的常见类型及方法 （1）不等式性质与充要条件、求取值范围、证明与推导不等式综合的问题，应注意观察从已知不等式到目标不等式的变化,它是如何变形的,这些变形是否符合不等式的性质； （2）若比较大小的两式是指数或对数模型,注意运用函数单调
3、性解题； （3）恰当运用赋值法和排除法探究解答选择题、填空题.,考点35不等式的性质及应用,考点35,考法1,不等式的性质及应用,2.比较大小 (1)差值比较原理 差值比较步骤：作差并变形判断差的符号结论.,【注意】只要判断差的符号（正负号）,至于差的值究竟是什么无关紧要,通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式积的形式.关键步骤是变形,主要是利用通分、因式分解、配方等,变形是为了更有利于判断符号.,(2)商值比较原理 商值比较步骤：作商并变形判断商与1的大小结论.,【注意】作商时结果与“1”比较大小，注意分母的正负,如果a,b均小于0,所得结论与“商值比较原理”中的结论相反.关键步骤仍是变形
4、,方法主要有分母（或分子）有理化、指数恒等变形、对数恒等变形等.,考点35不等式的性质及应用,此外，还可应用函数单调性比较大小，也可以采用中间量法或赋予特殊值的方法比较大小.,考点35,考法1,不等式的性质及应用,3.求取值范围 由af(x,y)b,cg(x,y)d,求F(x,y)的取值范围,可利用待定系数法解决,即设F(x,y)=mf(x,y)+ng(x,y)（或其他形式）,通过恒等变形求得m,n的值,再利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求得F(x,y)的取值范围.有时也可用线性规划的方法求F(x,y)的取值范围.,考点35不等式的性质及应用,考点35,考法1,不等式的性质及应用,考点
5、35不等式的性质及应用,考点35,考法1,不等式的性质及应用,考点35不等式的性质及应用,考点35,考法2,利用不等式的性质证明不等关系,1.比较法 可分为作差比较法与作商比较法.与比较大小的方法步骤一致. 2.综合法 利用某些已知的不等式,应用不等式的性质推导出要证明的不等式(“由因索果”),这种证明方法叫综合法. 3.分析法 从寻求结论成立的充分条件入手,逐步寻求所需条件成立的充分条件,直到所需的条件已知正确为止(“由果索因”). 4.分析综合法 将分析法和综合法结合使用而形成的一种方法. 【说明】应用不等式性质进行推理时，务必注意不等式成立的前提条件，如性质4中c的符号对不等号方向的影响
6、，避免出错.,考点35不等式的性质及应用,考点35,考法2,利用不等式的性质证明不等关系,考点35不等式的性质及应用,考点36常见不等式的解法,1.解一元二次不等式的一般步骤,(1)将不等式的右端化为0,左端化为二次项系数大于零的不等式ax2+bx+c0(或0)(a0)或ax2+bx+c0(或0)(a0); (2)计算相应的一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式； (3)当0时,求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根; (4)根据对应的二次函数的图象写出不等式的解集.,考点36常见不等式的解法,考点36常见不等式的解法,2.三个“二次”间的关系,【特别提示】若一元二次不等式的解集用区
7、间表示，则区间的端点值是对应的一元二次方程的根，同时注意判别式的取值范围及a的正负. 【注意】相应的一元二次方程根的大小不确定时，应先讨论根的大小，再写出解集.,考点36常见不等式的解法,考法3 解一元二次不等式,考法4 解分式不等式、绝对值不等式,常见不等式的解法,考点36,考法5 解高次不等式,考法6 解指数不等式、对数不等式,考点36常见不等式的解法,考点36,考法3,解一元二次不等式,1.解具体的一元二次不等式,考点36常见不等式的解法,考点36,考法3,解一元二次不等式,2.已知一元二次不等式的解集确定参数,考点36常见不等式的解法,考点36,考法3,解一元二次不等式,【点拨】一元二
8、次不等式、一元二次方程及二次函数的联系非常紧密,要注意相互转化.要注意二次项系数的正负号,若二次项系数为正,对应的二次函数的图象开口向上,再结合图象观察处于x轴上方与下方的横坐标的取值范围,分别为不等式大于0和小于0的解集（图象与x轴的交点的横坐标即为对应一元二次方程的解）；若二次项系数为负,一般先将其系数由负转化为正,再根据前面介绍的方法求解.,考点36常见不等式的解法,考点36,考法4,解分式不等式、绝对值不等式,1.解分式不等式 解分式不等式的实质是将分式不等式转化为整式不等式.,考点36常见不等式的解法,考点36,考法4,解分式不等式、绝对值不等式,2.解绝对值不等式,(4)几何法：利
9、用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点之间的距离求解； (5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解； (6)含两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解.,考点36常见不等式的解法,考点36,考法4,解分式不等式、绝对值不等式,考点36常见不等式的解法,考点36,考法4,解分式不等式、绝对值不等式,考点36常见不等式的解法,考点36,考法5,解高次不等式,如果分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2,一般使用穿针引线法,具体思路如下：,（1）标准化.,
10、通过移项、通分等方法将不等式化为左侧为关于未知数的整式,且最高次项系数为正，右侧为0的形式.,（2）分解因式.,将标准化的不等式的左侧化为若干个因式（一次因式或高次不可约因式）的乘积,如(x-x1)(x-x2)(x-xn)0（0,0,0)的形式,其中各因式中未知数的系数为正.,（3）求根.,求(x-x1)(x-x2)(x-xn)=0的根,并在数轴上表示出来（按从小到大的顺序标出）.,考点36常见不等式的解法,考点36,考法5,解高次不等式,如果分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2,一般使用穿针引线法,具体思路如下：,（1）标准化.,（2）分解因式.,（3）求根.,（4）穿线.,从右
11、上方穿线,经过数轴上表示各根的点,但是要注意经过偶次根时应从数轴的一侧返回这一侧,经过奇次根时应从数轴的一侧穿过，到达数轴的另一侧.即“奇穿偶不穿”.,（5）得解集.,若不等式（未知数的系数均为正）是“0”型,则找“线”在数轴上方时对应的区间；若不等式（未知数的系数均为正）是“0”型,则找“线”在数轴下方时对应的区间.,考点36常见不等式的解法,考点36,考法5,解高次不等式,考点36常见不等式的解法,考点36,考法6,解指数不等式、对数不等式,1.指数不等式的解法(a0,且a1),2.对数不等式的解法(a0,且a1),考点36常见不等式的解法,考点36,考法6,解指数不等式、对数不等式,考点
12、36常见不等式的解法,考点37与一元二次不等式有关的参数问题,不等式(x-a)(x-b)0(a0)的求解,应注意对参数进行分类讨论,分类讨论的常见情况： （1）二次项系数的符号（包含是否为0）; （2）计算判别式,判断方程根的情况：若有两根,则需要比较两根的大小.,考点37与一元二次不等式有关的参数问题,考法7 解含有参数的一元二次不等式,考法8 由一元二次型不等式恒成立求参数范围,与一元二次不等式有关的参数问题,考点37,考点37与一元二次不等式有关的参数问题,考点37,考法7,解含有参数的一元二次不等式,（1）一看（看二次项系数的符号）. （2）二算（计算判别式,判断方程根的情况）. （3
13、）三写（写出解集）.,二次项若含有参数,应讨论其是等于0,小于0,还是大于0.若二次项系数不为0,将不等式转化为二次项系数为正的标准形式.,此类题一般以含参数的一元二次不等式、集合的形式出现,要注意各次项系数大小对不等式解集的影响.在解含有参数的一元二次型不等式（如关于x的不等式ax2+bx+c0）时:,判断标准形式的一元二次不等式对应的方程的根的个数,讨论判别式与0的大小关系.,确定无根或有两个相等的实数根时，可以直接写出解集.如果有两个不相等的实数根,但不能确定两根的大小,要讨论两根的大小关系,从而确定解集.,【注意】勿将形如ax2+bx+c0的不等式认为一定是一元二次不等式.,考点37与
14、一元二次不等式有关的参数问题,考点37,考法7,解含有参数的一元二次不等式,【点拨】解含有参数的一元二次不等式,若二次项系数为常数,可先考虑因式分解,在求出对应方程根的情况下再对参数进行讨论,若不能根据因式分解的方法求出其根,则需要按照不等式对应方程的根的判别式的情况进行分类讨论;若二次项系数为参数,则应考虑二次项系数是否为零,然后讨论二次项系数不为零的情况.,考点37与一元二次不等式有关的参数问题,考点37,考法8,由一元二次型不等式恒成立求参数范围,1.一元二次不等式在实数集R上恒成立,考点37与一元二次不等式有关的参数问题,考点37,考法8,由一元二次型不等式恒成立求参数范围,2.在某区
15、间上恒成立 设f(x)=ax2+bx+c(a0). 方法1 不等式解集法,不等式f(x)0在集合A中恒成立等价于集合A是不等式f(x)0解集B的子集,通过求不等式的解集,并研究集合间的关系可以求出参数的取值范围.,方法2 分离参数法,若不等式f(x,)0（xD,为实参数）恒成立，将f(x,)0转化为g(x)或g(x)（xD）恒成立，进而转化为g(x)max或g(x)min，求g(x)(xD）的最值即可. 适用题型：参数与变量能分离；函数最值易求.,考点37与一元二次不等式有关的参数问题,考点37,考法8,由一元二次型不等式恒成立求参数范围,2.在某区间上恒成立 设f(x)=ax2+bx+c(a
16、0). 方法1 不等式解集法,方法2 分离参数法,方法3 主参换位法,变换思维角度,即把变元与参数交换位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围列式求解.一般地，条件给谁的范围，就看成有关谁的函数，利用函数单调性求解.,方法4 数形结合法,结合函数图象将问题转化为函数图象对称轴，区间端点函数值或函数图象上、下位置（相对于x轴）关系求解.,此外，若涉及的不等式能转化为一元二次不等式，可结合一元二次方程根的分布解决问题.,考点37与一元二次不等式有关的参数问题,考点37,考法8,由一元二次型不等式恒成立求参数范围,考点37与一元二次不等式有关的参数问题,目录,600分基础 考点考法 考点38 基本不等式及应用 700分基础 考点考法 考点39 基本不等式的实际应用,第2节 基本不等式及其应用,考点38基本不等式及应用,1.基本不等式,2.重要不等式,3.几个常用的重要结论,考点38基本不等式及应用,考点38基本不等式及应用,5.利用基本不等式求最值的前提条件,利用基本不等式求最值的三个前提条件是“一正、二定、三相等”, 即
