《第5章 离散傅里叶变换(DFT)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第5章 离散傅里叶变换(DFT)（71页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,5.1 离散傅里叶变换的定义 5.2 离散傅里叶变换的基本性质 5.3 频率域采样 5.4 DFT的应用举例,第5章 离散傅里叶变换(DFT),2,5.1 离散傅里叶变换的定义,5.1.1 DFT的定义 设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为,X(k)的离散傅里叶逆变换为,其中：,3,式中 ，N称为DFT变换区间,长度NM， 通常称(5.1.1)式和(5.1.2)式为离散傅里叶变换对。 下面证明IDFTX(k)的唯一性。 证： 把(5.1.1)式代入(5.1.2)式有,M为整数,4,例 5.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT。
2、 设变换区间N=8， 则,所以， 在变换区间上满足下式： IDFTX(k)=x(n), 0nN-1 由此可见， (5.1.2)式定义的离散傅里叶变换是唯一的。,5,设变换区间N=16， 则,6,图 5.1.1 X(k)与X(e j)的关系,7,5.1.2 DFT和Z变换的关系 设序列x(n)的长度为N， 其Z变换和DFT分别为：,比较上面二式可得关系式,8,5.1.3 DFT的隐含周期性 前面定义的DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于 的周期性，使(5.1.1)式和(5.1.2)式中的X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m总有,均为整数,所以(5.1.1)式中， X
3、(k)满足,同理可证明(5.1.2)式中 x(n+mN)=x(n),9,实际上，任何周期为N的周期序列 都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是 的一个周期， 即,为了以后叙述方便， 将(5.1.5)式用如下形式表示：,10,图 5.1.2 有限长序列及其周期延拓,主值区间,主值序列,11,式中x(n)N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列， (n)N表示n对N求余， 即如果 n=MN+n1， 0n1N-1， M为整数 则 (n)N=n1 例如,则有,所得结果符合图5.1.2所示的周期延拓规律。,12,5.2 离散傅里叶变换的基本性质,5.2.1 线性性质 如果x1
4、(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2： y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、b为常数，N=maxN1, N2，则y(n)的N点DFT为 Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2 (k), 0kN-1 (5.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。,13,5.2.2 循环移位性质 1. 序列的循环移位 设x(n)为有限长序列，长度为N，x(n)的循环移位定义为 y(n)=x(n+m)NRN(n) (5.2.2),14,图 5.2.1 循环移位过程示意图,15,2. 时域循环移位定理 设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n
5、)为x(n)的循环移位序列， 即 y(n)=x(n+m)NRN(n) 则 (5.2.3) 其中X(k)=DFTx(n), 0kN-1。,16,证明：,令n+m=n，则有,17,由于上式中求和项 以N为周期， 所以对其在任一周期上的求和结果相同。 将上式的求和区间改在主值区间则得,5. 频域循环移位定理 如果 X(k)=DFTx(n), 0kN-1 Y(k)=X(k+l)NRN(k) 则 (5.2.4),18,5.2.3 循环卷积定理 有限长序列x1(n)和x2(n)，长度分别为N1和N2， N=max N1, N2。 x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为： X1(k)=DFTx1(n) X
6、2(k)=DFTx2(n) 如果 X(k)=X1(k)X2(k) 则,(5.2.5),19,一般称(5.2.5)式所表示的运算为x1(n)与x2(n)的循环卷积。 下面先证明(5.2.5)式， 再说明其计算方法。 证明： 直接对(5.2.5)式两边进行DFT,令n-m=n， 则有,20,因为上式中 ， 以N为周期， 所以对其在任一个周期上求和的结果不变。 因此,循环卷积过程中，要求对x2(m)循环反转，循环移位， 特别是两个长为N的序列的循环卷积长度仍为N。显然与一般的线性卷积不同， 故称之为循环卷积， 记为,21,频域循环卷积定理： 如果x(n)=x1(n)x2(n) 则,(5.2.6),2
7、2,图5.2.2 循环卷积过程示意图,23,补充知识,循环卷积的简便解法： 方法：先计算线性卷积，然后从第N位开始截断，将截断的后部移至下一行，与被截断的前部对齐后，再对位相加。,例：已知x1(n)=2 3 1, x2(n)=1 0 2,0=n=2,N=3,求这两个序列的循环卷积。 y(n)=8 5 5,3 1 0 2 3 5 6 2 2 8 5 5,24,5.2.4 复共轭序列的DFT 设x*(n)是x(n)的复共轭序列，长度为N X(k)=DFTx(n) 则 DFTx*(n)=X*(N-k), 0kN-1 (5.2.7),证明： 根据DFT的唯一性，只要证明(5.2.7)式右边等于左边即可
8、。,25,用同样的方法可以证明 DFTx*(N-n)=X*(k) (5.2.8),26,5.2.5 DFT的共轭对称性 1. 有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 为了区别于傅里叶变换中所定义的共轭对称(或共轭反对称)序列，下面用xep(n)和xop(n)分别表示有限长共轭对称序列和共轭反对称序列，则二者满足如下定义式： xep(n)=x*ep(N-n), 0nN-1 (5.2.9) xop(n)=-x*op(N-n), 0nN-1 (5.2.10),27,任何有限长序列x(n)都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和， 即 x(n)=xep(n)+xop(n), 0nN-1 (5.2.1
9、1) 将上式中的n换成N-n，并取复共轭，再将(5.2.9)式和(5.2.10)式代入得到 x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n) =xep(n)-xop(n) (5.2.12) xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n) (5.2.13) xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n) (5.2.14),28,上面的结论同样适用于频域序列： Xep(k)=1/2X(k)+X*(N-k) （5.2.13-b） Xop(k)=1/2X(k)-X*(N-k) （5.2.14-b）,29,2. DFT的共轭对称性 (1) 如果x(n)=xr(n)+jxi(n) 其中 xr=Rex(n
10、)=1/2x(n)+x*(n) jxi(n)=jImx(n)=1/2x(n)-x*(n) 由(5.2.7)式和(5.2.13-b)式可得 DFTxr(n)=1/2DFTx(n)+x*(n) =1/2X(k)+X*(N-k) =Xep(k),Xep(k) =1/2X(k)+X*(N-k),30,由(5.2.7)式和(5.2.14-b)式得 DFTjxi(n)=1/2DFTx(n)-x*(n) =1/2X(k)-X*(N-k) =Xop(k) 由DFT的线性性质即可得 X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k) (5.2.16) 其中 Xep(k)=DFTxr(n) =1/2X(k)+X
11、*(N-k) , X(k)的共轭 对称分量 Xop(k)=DFTjxi(n) =1/2X(k)-X*(N-k), X(k)的共轭 反对称分量,31,(2) 如果x(n)=xep(n)+xop(n)， 0nN-1 (5.2.17) 其中 xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n), x(n)的共轭对称分量 xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n) , x(n)的共轭反对称分量 由(5.2.7)式和(5.2.14-b)式得： DFTxep(n)=1/2DFTx(n)+x*(N-n) =1/2X(k)+X*(k) =ReX(k),32,DFTxop(n)=1/2DFTx(n)-x*(N-n)
12、=1/2X(k)-X*(k) =jImX(k) 因此 X(k)=DFTx(n)=XR(k)+jXI(k) (5.2.18) 其中 XR(k)=ReX(k)=DFTxep(n) jXI(k)=jImX(k)=DFTxop(n),33,结论： 设x(n)是长度为N的实序列, 且X(k)=DFTx(n)， 则： (1) X(k)=X*(N-k),0kN-1 (5.2.19) (2) 如果 x(n)=x(N-n) 则X(k)实偶对称， 即 X(k)=X(N-k) (5.2.20) 证明：因为x(n)为实函数，则X(k)为共轭对称序列; 又因为 x(n)=x(N-n) 为对称序列，则X(k)为实函数.
13、因此， X(k)为实偶对称序列。,34,结论： (3) 如果x(n)=-x(N-n)， 则X(k)纯虚奇对称， 即 X(k)=-X(N-k) (5.2.21) 证明：因为 x(n)=-x(N-n) 为反对称序列 ，则X(k)为虚函数；又因为x(n)为实函数，则X(k)为共轭对称序列。因此， X(k)为纯虚奇对称。,35,5.3 频率域采样,离散傅立叶级数DFS,设 是一个周期为N的周期序列，其可以在展开为复指数序列之和,是k次谐波的系数。,36,5.3 频率域采样,离散傅立叶级数DFS,满足：,37,5.3 频率域采样,设任意序列x(n)的Z变换为,且X(z)收敛域包含单位圆(即x(n)存在傅
14、里叶变换)。 在单位圆上对X(z)等间隔采样N点得到,是以N为周期的频域序列，根据离散傅立叶级数理论， 必然为一个周期序列 的DFS系数。,38,39,频域采样 所对应的时域周期序列 是 原序列x(n)的周期延拓序列。,40,如果序列x(n)的长度为M，则只有当频域采样点数NM时， 才有 xN(n)=IDFTX(k)=x(n) 即可由频域采样X(k)恢复原序列x(n)，否则产生时域混叠现象， 这就是所谓的频率域采样定理。,41,时域采样定理,时域采样,频域周期延拓,由 恢复,频域采样,时域周期延拓,由 恢复,频域采样定理,42,傅立叶变换总结,傅立叶变换就是建立以时间为自变量的“信号”与以频率
15、为自变量的“频谱函数”之间的某种变换关系。所以当自变量“时间”或“频率”取连续值或离散值时，就形成了各种不同形式的傅立叶变换对。 1 连续时间、连续频率：傅立叶变换,x(t)必为非周期函数，才可满足,43,2 连续时间、离散频率：傅立叶级数 设x(t)是一个周期为T0的周期性连续时间的函数，x(t)可展开为傅立叶级数，其傅立叶级数的系数为 ，其为离散频率的非周期函数,其中 为离散频谱相邻两谱线之间的角频率间隔。,44,时域的连续函数造成频域的非周期频谱函数，而频域的离散频谱与时域的周期时间函数相对应。,45,3 离散时间、连续频率: 序列的傅立叶变换(FT) 离散时间信号的傅立叶变换对： 时域的非周期对应于频域的连续。,46,4 离散时间、离散频率：离散傅立叶变换(D
