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1、北京市丰台区高三(上)期末数学(理) 作者: 日期:2018北京市丰台区高三(上)期末 数 学(理) 2018.1第卷(共40分)一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1已知集合,则( )A B C D2“”是“”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3在极坐标系中,方程表示的曲线是( )A直线 B圆 C椭圆 D双曲线4若满足则的最大值是( )A-2 B-1 C1 D25执行如图所示的程序框图,如果输入的的值在区间内,那么输出的属于( )A B C D6某三棱锥的三视图如图所示,则该三
2、棱锥最长的棱的棱长为( )A2 B C D37过双曲线的一个焦点作一条与其渐近线垂直的直线,垂足为为坐标原点,若,则此双曲线的离心率为( )A B C2 D8全集,非空集合,且中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称.下列命题:若,则;若,则中至少有8个元素;若,则中元素的个数一定为偶数;若,则.其中正确命题的个数是( )A1 B2 C3 D4第卷(共110分)二、填空题(每题5分,满分30分,将答案填在答题纸上)9已知单位向量的夹角为120,则 10若复数在复平面内所对应的点在虚轴上,则实数 11在的展开式中,项的系数是 (用数字作答)12等差数列的公差为2,且成等比数列,那
3、么 ,数列的前9项和 13能够说明“方程的曲线是椭圆”为假命题的一个的值是 14已知函数.当时,函数有 个零点;若函数有三个零点,则的取值范围是 三、解答题 (本大题共6小题,共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15在中,()求角;()若,求的值.16某校为了鼓励学生热心公益,服务社会,成立了“慈善义工社”.2017年12月,该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会,学生可通过网路平台报名参加活动.为了解学生实际参加这4次活动的情况,该校随机抽取100名学生进行调查,数据统计如下表,其中“”表示参加,“”表示未参加.根据表中数据估计,该校4000名学生中约有120名这
4、4次活动均未参加.()求的值;()从该校4000名学生中任取一人,试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率;()已知学生每次参加公益活动可获得10个公益积分,任取该校一名学生,记该生2017年12月获得的公益积分为,求随机变量的分布列和数学期望.17在四棱锥中,底面是矩形,侧棱底面,分别是的中点,.()求证:平面;()求与平面所成角的正弦值;()在棱上是否存在一点,使得平面平面?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.18已知函数.()求函数的单调区间;()若恒成立,求实数的取值范围.19在平面直角坐标系中,动点到点的距离和它到直线的距离相等,记点的轨迹为.()求得方程;(
5、)设点在曲线上,轴上一点(在点右侧)满足.平行于的直线与曲线相切于点,试判断直线是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.20在数列中,若是整数,且(,且).()若,写出的值;()若在数列的前2018项中,奇数的个数为,求得最大值;()若数列中,是奇数,证明:对任意,不是4的倍数.数学试题答案一、选择题1-4:CABD 5-8:ADCC二、填空题9 101 11-40122,90 13中任取一值即为正确答案 141,三、解答题15解:()因为,所以.因为,所以,所以,所以.()由,得.解得.由余弦定理可得,解得.16解:()依题意,所以.因为,所以,.()设“从该校所有学生中
6、任取一人,其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动”为事件,则.所以从该校所有学生中任取一人,其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率约为.()可取0,10,20,30,40.;.所以随机变量的分布列为:所以.17解:()证明:取中点,连接.因为分别是的中点,所以,且.因为是矩形,是中点,所以,.所以为平行四边形.所以.又因为平面,平面,所以平面.()因为平面,所以,.因为四边形是矩形,所以.如图建立直角坐标系,所以,所以,.设平面的法向量为,因为,所以.令,所以,所以.又因为,设与平面所成角为,所以.所以与平面所成角的正弦值为.()因为侧棱底面,所以只要在上找到一点,使
7、得,即可证明平面平面.设上存在一点,则,所以.因为,所以令,即,所以.所以在存在一点,使得平面平面,且.18解:()函数的定义域为,.由,可得或,当时,在上恒成立,所以的单调递增区间是,没有单调递减区间;当时,的变化情况如下表:所以的单调递减区间是,单调递增区间是.当时,的变化情况如下表:所以的单调递减区间是,单调递增区间是.()由()知,当时,符合题意.当时,的单调递减区间是,单调递增区间是,所以恒成立等价于,即,所以,所以.当时,的单调递减区间是,单调递增区间是,所以恒成立等价于,即.所以,所以.综上所述,实数的取值范围是.19解:()因为动点到点的距离和它到直线的距离相等,所以动点的轨迹
8、是以点为焦点,直线为准线的抛物线.设的方程为,则,即.所以的轨迹方程为.()设,则,所以直线的斜率为.设与平行,且与抛物线相切的直线为,由得,由得,所以,所以点.当,即时,直线的方程为,整理得,所以直线过点.当,即时,直线的方程为,过点,综上所述,直线过定点.20解:(),.所以,.()(i)当都是偶数时,是偶数,代入得到是偶数;因为是偶数,代入得到是偶数;如此下去,可得到数列中项的奇偶情况是偶,偶,偶,偶,所以前2018项中共有0个奇数.(ii)当都是奇数时,是奇数,代入得到是偶数;因为是偶数,代入得到是奇数;因为是偶数,代入得到是奇数;如此下去,可得到数列中项的奇偶情况是奇,奇,偶,奇,奇
9、,偶,奇,奇,偶,所以前2018项中共有1346个奇数.(iii)当是奇数,是偶数时,理由同(ii),可得数列中项的奇偶情况是奇,偶,奇,奇,偶,奇,奇,偶,奇,所以前2018项中共有1345个奇数.(iv)当是偶数,是奇数时,理由同(ii),可得数列中项的奇偶情况是偶,奇,奇,偶,奇,奇,偶,奇,奇,所以前2018项中共有1345个奇数.综上所述,前2018项中奇数的个数的最大值是1346.()证明:因为是奇数,所以由()知,不可能都是偶数,只能是偶奇奇,奇偶奇,奇奇偶三种情况.因为是奇数,且,所以也是奇数.所以为偶数,且不是4的倍数.因为,所以前4项没有4的倍数,假设存在最小正整数,使得是4的倍数,则均为奇数,所以一定是偶数,由于,且,将这两个式子作和,可得.因为是4的倍数,所以也是4的倍数,与是最小正整数使得是4的倍数矛盾.所以假设不成立,即对任意,不是4的倍数.