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1、散射相移和束缚态数目的关系 -Levinson定理,e-mail: ,1,报告内容,Jost函数方法证明薛定谔方程 的Levinson定理,3. 结论,2. Sturm-Liouville定理方法证明 薛定谔方程的Levinson定理,2,3,4,GEORGE SUDARSHAN has been nominated for the Nobel Prize six times and has received many awards, including the Bose Medal in 1977.,5,This book provides a pedagogical introductio
2、n to the formalism, foundations and applications of quantum mechanics.,This book is intended for use as a textbook for beginning graduate and advanced undergraduate course.,6,7,(2),(12),8,9,10,(20),11,(15b),(26),(24)式前面,12,Jost 函数方法证明Levinson定理,U(r)在原点比 更少奇异 在无穷远比 收敛更快,讨论有球对称势的薛定谔方程,13,Jost 函数方法证明Le
3、vinson定理,U(r)在原点比 更少奇异 在无穷远比 收敛更快,讨论有球对称势的薛定谔方程,14,Jost 函数方法,1.Jost函数解析性质和零点重数的研究很困难。,Levinson定理：,2.对势函数的条件太苛刻。,3.定理中包含 项,4.推广到Dirac方程很困难。,15,1. 。,在区域a,b, , c是Y第一个零点,2.在a,b内 y 两个相邻零点间 至少有 Y 一个零点。,3.在a,b内 y 第k个零点在Y第k零点的右面。,Sturm 比较定理,16,一个相角随能量单调变化,“For the Sturm-Liouville problem, the fundamental tr
4、ick is the definition of a phase angle which is monotonic with respect to the energy.”,Professor C. N. Yang pointed out In a talk on monopole (1981),17,Sturm-Liouville 定理,径向函数的Wronskian,波函数对数微商,18,Sturm-Liouville 定理,对 取 在无穷远趋于零，,两侧波函数对数微商都随能量单调变化， 随势函数也单调变化。,19,薛定谔方程的Levinson 定理,现在研究束缚态，E0,在区域 解为,其中
5、 ，对数微商为,20,薛定谔方程的Levinson 定理,在区域 ，自由粒子（ ）解为,对数微商为,21,薛定谔方程的Levinson 定理,随着 由0增加至1， 保持不变， 而 要发生变化。,由于单调性，只要注意 的变化,22,薛定谔方程的Levinson 定理,每当 下降而经过 值时， 一个散射态变成了一个束缚态，反之亦然。,与此同时， 跳进,23,薛定谔方程的Levinson 定理,临界情况，,是束缚态， 取负值。,在区域 有解,是半束缚态， 取无穷大。,24,薛定谔方程相移的性质,在区域 径向方程依赖于势，设解为,可算得对数微商为,在区域 径向方程可解，E0时为,25,薛定谔方程相移的
6、性质,由衔接条件 解得,26,薛定谔方程相移的性质,1. 相移 周期性的约定,过去 和,实际只要势函数不太奇异，,27,薛定谔方程相移的性质,1.相移 周期性的约定,2.取截断势,可分两区域 和 分别计算， 在区域 为自由粒子，解已知。,3.在 处用波函数对数微商衔接条件,28,薛定谔方程相移的性质,对给定的,因为,所以要计算 时的相移值,29,薛定谔方程相移的性质,时的相移为,30,薛定谔方程相移的性质,1. 由于因子 ， 很小，,31,薛定谔方程相移的性质,1. 由于因子 ， 很小，,例外： 和 时 ， 是半整数,32,薛定谔方程相移的性质,1. 由于因子 ， 很小，,例外： 和 时 ，
7、是半整数,随 跳跃变化，每次跳,随 跳跃变化，每次跳,33,薛定谔方程相移的性质,1. 很小时，,2.随 变化， 变化而经过 值时， 不变。 减少 而经过 值时， 增加一，即 跳进 ，反之亦然。,34,薛定谔方程相移的性质,1. 很小时，,2.随 变化， 变化而经过 值时， 不变， 减少 而经过 值时， 增加一，即 跳进 。,3.临界情况，,35,薛定谔方程相移的性质,1. 很小时，,2.随 变化， 变化而经过 值时， 不变， 减少 而经过 值时， 增加一，即 跳进 。,3.临界情况， 对小的E值， 已经是负值。,36,薛定谔方程的Levinson 定理,半束缚态发生在S波的临界情况：,当势能
8、满足条件 时有,37,势函数在无穷远存在尾巴的情况,满足Levinson定理，而,满足修改的Levinson定理。,38,Newton的两个反例,Levinson定理不会成立， 但修改的Levinson定理成立。,反例1：,39,Newton的两个反例,反例2：,40,讨论,1.用Jost函数的解析性质证明Levinson定理， 势函数需要满足更强的条件 原条件是,2. 在正常情况下 但在特殊条件下， 原来的Levinson定理不成立。,还有非定域势，并存在正能束缚态情况。,3. 在无穷远存在 形式的势能尾巴时，Levinson 定理不成立，但我们的修改的Levinson定理成立。,4. 我们
9、的方法便于推广，如推广到Dirac方程。,如正无穷方势阱，,41,Thank you !,42,1、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。20.8.1720.8.17Monday, August 17, 2020 2、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。13:29:0113:29:0113:298/17/2020 1:29:01 PM 3、越是没有本领的就越加自命不凡。20.8.1713:29:0113:29Aug-2017-Aug-20 4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。13:29:0113:29:0113:29Monday, August 17, 2020 5、知人者智，自知者明。
10、胜人者有力，自胜者强。20.8.1720.8.1713:29:0113:29:01August 17, 2020 6、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。2020年8月17日星期一下午1时29分1秒13:29:0120.8.17 7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。2020年8月下午1时29分20.8.1713:29August 17, 2020 8、业余生活要有意义，不要越轨。2020年8月17日星期一1时29分1秒13:29:0117 August 2020 9、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。下午1时29分1秒下午1时29分13:29:0120.8.17 10、你要做多
11、大的事情，就该承受多大的压力。8/17/2020 1:29:01 PM13:29:012020/8/17 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。8/17/2020 1:29 PM8/17/2020 1:29 PM20.8.1720.8.17 12、这一秒不放弃，下一秒就会有希望。17-Aug-2017 August 202020.8.17 13、无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异纸上画饼充饥，无补于事。Monday, August 17, 202017-Aug-2020.8.17 14、我只是自己不放过自己而已，现在我不会再逼自己眷恋了。20.8.1713:29:0117 August 202013:29,谢谢大家,
