《【数学】甘肃省张掖市2019-2020学年高二下学期期中考试(理)1(20200816102849)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【数学】甘肃省张掖市2019-2020学年高二下学期期中考试(理)1(20200816102849)（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、甘肃省张掖市 2019-2020学年 高二下学期期中考试（理） （考试时间：120 分钟试卷满分： 150 分） 测试范围：选修 2-2、选修 2-3 第一章 一、选择题（本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1已知i为虚数单位，若复数 1i 1i a z（aR）的实部为3，则| |z（） A 10 B2 3C 13 D5 2下列关于求导叙述正确的是 A若sinfxx ，则cosfxxB若lnfxxx，则 1x fx x C若 2 4fxx，则4fxxD若e x fxx，则01f 3甲、乙、丙、丁四人商量是否参加志愿者服务活动.甲说
2、： “ 乙去我就肯定去 . ”乙说： “ 丙 去我就不去 . ” 丙说： “ 无论丁去不去，我都去. ”丁说： “ 甲、乙中只要有一人去，我就去. ”则以 下推论可能正确的是( ) A乙、丙两个人去了B甲一个人去了 C甲、丙、丁三个人去了D四个人都去了 4函数的导函数 ，满足关系式，则的值为 （） A6 B C D 5 用数学归纳法证明： “1221 3 521 n nnnnnnN” 时， 从n k到1nk ，等式的左边需要增乘的代数式是( ) A 21k B 21 1 k k C 23 1 k k D2 21k 6若 6 13xax的展开式中 3 x 的系数为 -45，则实数 a的值为（）
3、A 2 3 B 2 C 1 4 D 1 3 ( )f x ( )fx 2 ( )2(2)lnf xxxfx (2)f 6 7 2 7 2 7正切函数是奇函数，是正切函数，因此 是奇函 数，以上推理（） A结论正确 B大前提不正确C小前提不正确 D以上均不正确 8已知 ，若，则的值为（） ABCD1 9从 A，B，C，D，E 5 名学生中选出4 名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中 A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为() A24B48 C72D120 10我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“ 三斜求积术 ” ，用现代式子表示即为： 在ABC中，角,A B C所对的边分别为
4、, ,a b c，则ABC的面积 2 222 2 1 () 42 abc Sab.根据此公式，若cos3cos0aBbcA，且 222 2abc ，则ABC的面积为 A 2 B 2 2 C 6 D 2 3 11如图所示， 椭圆中心在坐标原点，F为左焦点， 当 时，其离心率为， 此类椭圆被称为“ 黄金椭圆 ” 类比 “ 黄金椭圆 ” ， 可推算出 “ 黄金双曲线 ” 的离心率 e 等于 （） A B CD 2 tan2fxx 2 tan2fxx ( )21f xx 1 0 ( )( )fx dxf a a a 3 2 1 2 FBAB 51 2 51 2 51 2 5151 12已知函数 有两个
5、不同的极值点，若不等式 有解，则的取值范围是（） AB C D 二、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分） 13 已知定义在 R上的奇函数 fx满足当 0 x 时， 3 lnfxx x ， 则曲线 yfx 在 点1,1f 处的切线斜率为_. 14设复数满足 ，则的最大值是 _. 15在学校国庆文艺晚会上，有三对教师夫妇参加表演节目，要求每人只能参加一个单项表 演节目 .按节目组节目编排要求，男教师的节目不能相邻，且夫妻教师的节目也不能相邻， 则该 6 名教师表演的节目的不同编排顺序共有_种.（用数字填写答案） 16已知 P 是曲线上的点， Q 是曲线上的点，曲线与曲 线关于直线对
6、称， M 为线段 PQ 的中点， O 为坐标原点，则的最小值 为_ 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）关于复数 z的方程 2 30zai ziaR. （1）若此方程有实数解，求a的值； （2）证明：对任意的实数 a，原方程不可能有纯虚数根 . 18 （12 分）观察下列等式: ； 2 ( )lnf xaxxx1x 2 x 1212 2fxfxxxtt (, 2ln 2), 2ln 2 (, 112ln 2) , 112ln 2 z 341ziz 3 1 33 : 22 Cyxxx 2 C 1 C 2 C24yx|OM 3 11 ； ； ； ；
7、(1)猜想第 n(n N*)个等式 ; (2)用数学归纳法证明你的猜想. 19. （12 分）设函数 3 fxx的图象上一点1,1Pf处的切线l与 3 fxx的图象的 另一交点为Q （1）确定点Q的坐标； （2）求函数yfx与切线l围成的封闭图形面积 20 （12 分）已知正项数列满足，且 ，设 （1）求证：； （2）求证：； （3）设为数列的前项和，求证：. 21 （12 分）某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量根据调查数据，该昆虫的数量 y （万只）与时间x（年） （其中*xN）的关系为2 x ye为有效控制有害昆虫数量、保 护生态环境，环保部门通过实时监控比值 2 1 ay M xx
8、（其中a为常数，且0a）来进 行生态环境分析 33 123 333 1236 3333 123410 33333 1234515 n a 1 1 2 a 23 1 322 nnn aaa 11 (2) nnnn baaa 1nn aa 12 1 12 lnln.ln2ln(2) n n n bbb a aaa n S n b n 1 4 n S （1）当1a时，求比值 M 取最小值时x的值； （2）经过调查， 环保部门发现：当比值 M 不超过 4 e 时不需要进行环境防护为确保恰好 3 年不需要进行保护，求实数a的取值范围（ e为自然对数的底，2.71828e） 22 （12 分）已知函数，设
9、 的导函数为 （1）求证：； （2）设的极大值点为，求证： （其中） 322111 ln 342 fxxxxxfxg x 0g x g x 0 x 2 0 1 4 eg x271828e 参考答案 123456789101112 CBCDDDCCCAAC 134146152416 2 5 5 17 （本小题满分10 分） 【解析】（1）设zmR，带入原方程得 2 30mai mi， 即 2 310mammi，则 2 30 10 mam m ，故 1 2 m a . （2）证明 :假设原方程有纯虚数根，设zni（nR，且0n） ， 则有 2 30niai nii，整理可得 2 310nnani，
10、 则 2 30 10 nn an ，对于 2 30nn ，判别式1 12110， 则方程 2 30nn 无实数解，故方程组无实数解，即假设不成立，从而原方程不可 能有纯虚数根. 18 （本小题满分12 分） 【解析】（1）猜想第 n个等式为 3333 1 123 2 n n n . （2）证明：当1n时，左边 1，右边1，故原等式成立； 设nk时，有 3333 1 123 2 k k k，则当1nk时， 2 33 3333 1 12311 2 k k kkk 2 2 2 12 111 422 k kkk kkk 111 2 kk 故当1nk时，命题也成立，由数学归纳法可以原等式成立. 19 （
11、本小题满分12 分） 【解析】 （1） 点1,1P， 2 3fxx， 故13f， 所以切线 l的方程为 131yx， 即32yx.联立 3 32 yx yx ，得 3 320 xx ，解得2x或1x（舍去），所 以点2, 8Q （2）由图，设函数( )yf x与切线l围成的封闭图形面积为S， 则 1 2 342 1 2 1327 322 424 Sxxdxxxx ，所以所求面积为 27 4 20 （本小题满分12 分） 【解析】（1）0 n a， 23 1 3 2 nnn aaa， 32 1 3 2 nnnnn aaaaa 23 10 2 nnn aaa， 1nn aa （2）猜想 2 1 2
12、 nn nn ba aa 要证 2 1 2 nn nn ba aa ，只需证 2 1 2 n n n a b a ， 11 2 nnnn baaa，只需证 1 1 2 n nn n a aa a ， 只需证 2 1 2 1 n n n a a a ， 又 23 1 3 2 nnn aaa，且 2 2323 21 n nn n a aa a ， 2 1 2 1 n n n a a a ， 2 1 2 nn nn ba aa 累乘法可得 2 2121 1 2 121 . 4 . nn n n b bba a a aaa ， 2 2 121 1 2 121 . lnln 4 . nn n n b b
13、ba a aaaa 12 1 12 lnln.ln2ln 2 n n n bbb a aaa （3） 1 1 2 nn aa， 2131 22 n nn n a aa a 1 1 2 nn aa 22 111 3 2 4 nnnnnn bfaaa aa，而 2 1 2 1 4 n n a a 12 . nn Sbbb 222 12 3 . 4 n aaa 2 1 1 1 4 31 1 44 1 4 n a . 21 （本小题满分12 分） 【解析】（1）当1a时， 2 2 (1) 1 x e Mx xx ，2 2 212 1 x xxe M xx 列表得： 2 0 单调减极小值单调增 M在1,
14、2上单调递减，在2,上单调递增M在2x时取最小值； （ 2）2 2 212 (0) 1 x a xxe Ma xx 根据（ 1）知： M 在1,2上单调减，在 2,上单调增 确保恰好3 年不需要进行保护 4 3 4 4 4 12 2 3 7 2 4 13 Mee ae Me ae Me ，解得： 137 22 e a 答：实数 a的取值范围为 13 7 , 22 e 22 （本小题满分12 分） 【解析】（1）由已知( )f x 的导函数为 2 ( )g xxxxlnx 要证( )0g x，只需要证明10 xlnx 设 ( )1xx lnx ，则 1 ( ) x f x x 故 ( )h x
15、在(0,1)递减，在 (1,)递增， 故 110h xxlnxh （2）证明：因为 2 ( )g xxxxlnx ， 所以( )22gxxlnx 令( )22h xxlnx ，则 1 2() 1 2 ( )2 x h x xx 可知，当 1 (0,) 2 x时，( )h x单调递减，当 1 ( 2 x， ) 时，( )h x单调递增 又 2 ()0h e， 1 ( )0 2 h，10h，所以( )h x在 1 (0,) 2 有唯一零点 0 x ， 在 1 ( 2 ，) 有唯一零点 1 且当 0 (0,)xx ，( )0h x，当0 (xx ，1) ， ( )0h x，所以 0 xx 是 ( )g x 的唯一的 极大值 点，故 00 220 xlnx ， 2 0(xe， 1 ) 2 所以 22 0000000 1 ( )() 4 max g xg xxxx lnxxx 因为 11 (0,) 2 e，显然 12 0 ()()g xg ee 故 2 0 1 () 4 eg x
