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1、20 初中数学竞赛辅导资料 一元一次方程解的讨论 甲内容提要 1， 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的 解。一元方程的解也叫做根。 例如：方程2x60，x（x-1）=0,|x|=6,0 x=0,0 x=2 的解 分别是：x=3,x=0 或 x=1,x= 6,所有的数，无解。 2， 关于 x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b 后， 讨论它的解：当a0 时，有唯一的解x= a b ； 当 a=0 且 b0 时，无解； 当 a=0 且 b0 时，有无数多解。 （不论x 取什么值， 0 x0 都成立） 3,求方程 ax=b(a0)的整数解、正整数解、正数
2、解 当 ab 时，方程有整数解； 当 ab，且 a、b 同号时，方程有正整数解； 当 a、b 同号时，方程的解是正数。 综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b 乙例题 例 1a 取什么值时，方程a(a2)x=4(a2)有唯一的解？无解？ 有无数多解？是正数解？ 解：当a0 且 a2 时，方程有唯一的解，x= a 4 当 a=0 时，原方程就是0 x= 8，无解； 当 a=2 时，原方程就是0 x=0 有无数多解 由可知当a0 且 a2 时，方程的解是x= a 4 ,只要 a 与 4 同号， 即当 a0 且 a2 时，方程的解是正数。 例 2k 取什么整数值时，方程 k(x
3、+1)=k 2（x 2）的解是整数？ （ 1 x）k=6 的解是负整数？ 解：化为最简方程（k2）x=4 当 k+2 能整除 4，即 k+2= 1， 2， 4 时，方程的解是整数 k=1， 3，0， 4，2， 6 时方程的解是整数。 化为最简方程kx=k6， 当 k0 时 x= k k6 =1 k 6 ， 21 只要 k 能整除 6,即 k=1， 2， 3， 6 时， x 就是整数 当k=1,2,3 时，方程的解是负整数5， 2， 1。 例 3己知方程 a(x2)=b(x+1) 2a无解。问a 和 b 应满足什么关系？ 解：原方程化为最简方程：(ab)x=b 方程无解，ab=0 且 b 0 a
4、和 b 应满足的关系是a=b0。 例 4a、b 取什么值时，方程（3x2）a+（2x3）b=8x7 有无数多解？ 解：原方程化为最简方程：（ 3a+2b8）x=2a+3b 7， 根据0 x0 时，方程有无数多解，可知 当 0732 0823 ba ba 时，原方程有无数多解。 解这个方程组得 1 2 b a 答当 a=2 且 b=1 时，原方程有无数多解。 丙练习（ 9） 1,根据方程的解的定义，写出下列方程的解： 1 (x+1)=0,x2=9, |x|=9，|x|=3, 3x+1=3x 1,x+2=2+x 2,关于 x 的方程 ax=x+2 无解，那么a_ 3,在方程 a(a3)x=a 中， 当 a 取值为时，有唯一的解；当 a时无解； 当 a时 ,有无数多解；当 a时 ,解是负数。 4， k 取什么整数值时，下列等式中的x 是整数？ 1x= k 4 x= 1 6 k x= k k32 x= 1 23 k k 5， k 取什么值时，方程xk=6x 的解是正数？是非负数？ 6， m 取什么值时，方程3（ m+x）=2m1 的解是零？是正数？ 7， 己知方程 2 2 1 4 63ax 的根是正数，那么a、 b 应满足什么关系？ 8， m 取什么整数值时，方程mm x 3 2 1)1 3 (的解是整数 ? 9， 己知方程axx b 2 3 1)1( 2 有无数多解，求a、b 的值。
