《2016年全国各地高考数学试题及解答分类(选修4：几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲、矩阵与变换)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016年全国各地高考数学试题及解答分类(选修4：几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲、矩阵与变换)（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1页（共 13页） 2016 年全国各地高考数学试题及解答分类大全 （选修 4：几何证明选讲、坐标系与参数方程、 不等式选讲、矩阵与变换） 一、几何证明选讲：选修 41；几何证明选讲 1. （2016 江苏） 如图，在 ABC 中， ABC=90， BDAC，D 为垂足， E 是 BC 的中点， 求证： EDC=ABD. 【答案】详见解析 考点：相似三角形 【名师点睛】 1.相似三角形的证明方法：(1)先找两对内角对应相等；(2)若只有一个角对应相等，再 判定这个角的两邻边是否对应成比例；(3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例 2利用相似三角形的性质进行对应边的比、对应角的度数的相关
2、运算时，要善于联想变换比例式， 通过添加辅助线构造相似三角形，同时注意面积法的应用 3.（ 2016全国 文、理） 如图 , OAB 是等腰三角形 ,AOB=120 .以 O 为圆心 , 1 2 OA 为半径作圆 . (I)证明：直线AB 与O 相切； (II) 点 C,D 在 O 上,且 A,B,C,D 四点共圆 ,证明： ABCD. 第 2页（共 13页） 【答案】 (I)见解析 (II) 见解析 在Rt AOE中 , 1 2 OEAO,即O到直线AB的距离等于圆O的半径 ,所以直线AB与O相切 （）因为2OAOD,所以O不是,A B C D四点所在圆的圆心,设O是,A B C D四点所在
3、圆的 圆心 ,作直线OO 由已知得O在线段AB的垂直平分线上,又O在线段AB的垂直平分线上,所以OOAB 同理可证 ,OOCD所以/ABCD 考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明 【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“ 长度关系 ” 与“ 角度关系的转化”, 熟悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；四点 共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理. 4.（ 2016全国文、理）如图，在正方形ABCD中，,E G分别在边,DA DC上（不与端点重合） ， 且DEDG，过D点作DFCE，垂足为F ( ) 证明：,B C G F
4、四点共圆； ( )若1AB，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积 第 3页（共 13页） 【答案】（）详见解析； （） 1 2 . （II）由,B C G F四点共圆，CGCB知FGFB，连结GB， 由G为Rt DFC斜边CD的中点，知GFGC,故,Rt BCGRt BFG 因此四边形BCGF的面积S是GCB面积 GCB S 的 2倍，即 111 221. 222 GCB SS 考点：三角形相似、全等，四点共圆 【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对 应边证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题相似三角形的性质可用来证明线 段成比例、
5、角相等；可间接证明线段相等 第 4页（共 13页） 5.（2016 全国文、理）如图，O中AB 的中点为 P，弦PCPD，分别交AB于EF，两点 （I ）若2PFBPCD，求PCD的大小； （II ）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分 线交于点G，证明OGCD 【答案】（）60； （）见解析 （）因为BFDPCD，所以180PCDEFD， 由此知EFDC,四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上， 又在DF的垂直平分线上，故G就是过EFDC,四点的圆 的圆心，所以G在CD的垂直平分线上，又O也在CD的垂 直平分线上，因此CDOG 考点： 1、圆周角定理； 2、三角形内角和定理； 3、垂直平分线定
6、理； 4、四点共圆 【方法点拨】（ 1）求角的大小通常要用到三角形相似、直角三角形两锐角互余、圆周角与圆心角定 理、三角形内角和定理等知识，经过不断的代换可求得结果；（2）证明两条直线的夂垂直关系，常 常要用到判断垂直的相关定理，如等腰三角形三线合一、矩形性质、圆的直径、平行的性质等 6. （2016 天津文、理）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段 CE的长为 _. 【答案】 2 3 3 【解析】 试题分析：设CEx，则由相交弦定理得DE CEAE BE， 2 DE x ，又 2 BDDE x ，所以1ACAE，因为AB是 直径，则 22 312
7、 2BC， 2 4 9AD x ， 第 5页（共 13页） 在圆中BCEDAE:，则 BCEC ADAE ，即 2 2 2 14 9 x x ，解得 2 3 3 x 考点：相交弦定理 【名师点睛】 1. 解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 (1) 直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2) 当比例式 ( 等积式 ) 中的线段分别在两个三角形 中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形比例式等积式”在证明中有时还 要借助中间比来代换，解题时应灵活把握 2应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其 性质、与圆有关的相似三角形等 二、坐标系与参
8、数方程：选修 4-4：坐标系与参数方程 1.（ 2016北京理） 在极坐标系中，直线cos3sin10与圆2cos交于 A，B 两点， 则|AB_. 【答案】 2 考点：极坐标方程与直角方程的互相转化. 【名师点睛】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式 sin,cosyx即可 将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用 xsin,cosyx以及 22 yx，)0(tanx x y ，同时要掌握必要的技巧. 2. （2016 江苏） 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为 1 1 2 3 2 xt yt （t 为参 数） ，椭圆 C 的参
9、数方程为 cos , 2sin x y （为参数） .设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点， 求线段 AB 的长 . 【答案】 16 7 第 6页（共 13页） 考点：直线与椭圆参数方程 【名师点睛】 1. 将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法 2把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及 y 的取值范围的影响 3. （2016 全国 文、理） 在直角坐标系xy 中,曲线 C1的参数方程为 cos 1sin xat yat （t 为参数 ,a 0） 在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2
10、： =4 cos . （I）说明 C1是哪一种曲线 ,并将 C1的方程化为极坐标方程； （II） 直线 C3的极坐标方程为 0,其中0 满足 tan 0 =2,若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上,求 a 【答案】（I）圆 , 22 2 sin10a（II ）1 试题解析： cos 1sin xat yat （ t 均为参数） , 2 22 1xya 1C 为以01，为圆心 ,a 为半径的圆方程为 222 210 xyya 222 sinxyy，, 22 2 sin10a即为 1 C的极坐标方程 2 4cosC ：,两边同乘得 2222 4coscosxyx， 22 4xyx,即 2 2
11、24xy 3 C：化为普通方程为2yx,由题意： 1 C和 2 C的公共方程所在直线即为 3 C 第 7页（共 13页） 得： 2 4210 xya,即为 3 C 2 10a,1a 考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用 【名师点睛】 “ 互化思想 ” 是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与 参数方程的互化公式及应用. 4. （2016 全国文、理）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为 22 (6)25xy （）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程； （）直线l的参数方程是 cos sin xt yt （t为参数） ,l与C交
12、于,A B两点，|10AB，求l的 斜率 【答案】（） 2 12cos110； （） 15 3 . 试题解析：（I）由cos ,sinxy可得C的极坐标方程 2 12cos110. （II）在（ I）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为()R 由,A B所对应的极径分别为 12 ,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得 2 12cos110. 于是 1212 12cos,11, 22 121212| |()4144cos44,AB 由|10AB得 2315 cos,tan 83 ， 所以l的斜率为 15 3 或 15 3 . 考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离
13、公式. 【名师点睛】极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所 在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的 范围要注意转化的等价性. 第 8页（共 13页） 5. （2016 全国文、理） 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 3cos () sin x y 为参数，以 坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴， ，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 sin()2 2 4 （I ）写出 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （II ）设点P在 1C上，点Q在2 C上，求PQ的最小值及此时P的直角坐标.
14、【答案】（） 1 C的普通方程为 2 2 1 3 x y， 2 C的直角坐标方程为40 xy； （） 3 1 (,) 2 2 试题解析：（） 1 C的普通方程为 2 2 1 3 x y， 2 C的直角坐标方程为40 xy.5 分 （）由题意，可设点P的直角坐标为( 3 cos,sin)，因为 2 C是直线，所以|PQ的最小值即 为P到 2 C的距离( )d的最小值， |3 cossin4 | ()2 |sin()2| 32 d .8 分 当且仅当2() 6 kkZ 时，( )d取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为 3 1 (,) 2 2 . 10 分 考点： 1、椭圆的参数方程； 2、直
15、线的极坐标方程 【技巧点拨】一般地，涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手 时，可考虑利用椭圆的参数方程进行处理，设点的坐标为( cos, cos)ab，将其转化为三角问题 进行求解 6. （2016 上海理） 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（） （A）cos56（B）ins56 （C）cos56（D）ins56 【答案】D 第 9页（共 13页） 考点：极坐标系 【名师点睛】本题是极坐标系问题中的基本问题，从解法上看，一是可通过记忆比对，作出判断， 二是利用特殊值代入检验的方法. 本题突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生基本运算能 力、数形结合思想
16、等. 三、不等式选讲选：选修 4-5：不等式选讲 1.（ 2016江苏） 设 a0，|x-1| 3 a ，|y-2| 3 a ，求证： |2x+y-4|a. 【答案】试题分析：利用含绝对值的三角不等式|ab|a|b|进行放缩证明 试题解析：证明：因为|1|,|2| 33 aa xy 所以|24| |2(1)(2) | 2|1|2|2. 33 aa xyxyxya 考点：含绝对值的不等式证明 【名师点睛】利用绝对值三角不等式求最值时，可借助绝对值三角不等式性质定理：|a| |b|a b|a|b|，通过适当的添、拆项来放缩求解，但一定要注意取等号的条件将绝对值不 等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活 应用，这是命题的新动向 2.（ 2016全国 文、理） 已知函数123fxxx. （I）在答题卡第（24）题图中画出yfx的图像； （II）求不等式1fx的解集 【答案】（I）见解析（ II） 1 135 3 ， 第 10页（
