《新人教版九年级数学上册第二十四章《垂直于弦的直径》名师教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新人教版九年级数学上册第二十四章《垂直于弦的直径》名师教案（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、24.1.2 垂直于弦的直径 一、教学目标（一）学习目标1.探索圆的对称性2.在探究问题过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及其相关性质的过程3.能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题（二）学习重点垂直于弦的直径所具有的性质以及证明（三）学习难点利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）圆是轴对称图形，也是中心对称图形（2）圆的对称轴是圆的直径所在的直线，圆的对称中心是圆心2.预习自测（1）如图，AB是的直径，弦CDAB，垂足为M，下列结论不成立的是（ ）A.CM=DM B. C.ACD=ADC D
2、.OM=MD【知识点】垂径定理，勾股定理.【解题过程】 根据垂径定理得：CM=DM，AC=AD，由AC=AD得ACD=ADC，而OM=MD不一定成立.【思路点拨】本题主要考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧.【答案】D（2）一条排水管的截面如图所示已知排水管的截面圆半径OB=10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是（ ）A、16 B、10 C、8 D、6【知识点】垂径定理，勾股定理.【数学思想】数形结合【解题过程】根据垂径定理得出AB=2BC，再根据勾股定理求出从而求得AB=2BC=28=16.故选A.【思路点拨】根据勾股定理得到BC的长度，再由垂径定理得到A
3、B.【答案】A（3）如图，半径为10的O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为（ ）（A）6（B）8（C）10（D）12【知识点】垂径定理，勾股定理。【数学思想】数形结合【解题过程】过O作ODAB于D，连接OB，根据垂径定理求出BD=AD=8，在RtOBD中，。故选A。【思路点拨】根据垂径定理得到BD的长，再根据勾股定理得到OD的长。【答案】A。（4）如图，AB是O的弦，ODAB于D若AB= ，0D=1，则半径OB的长为_【知识点】垂径定理，勾股定理。【数学思想】数形结合【解题过程】根据垂径定理知BD=AB=，根据勾股定理，得OB=2。【思路点拨】垂径定理与勾股定理结合后，只要知道弦、半径、
4、弦心距的长度中的任何两个就能求出第三个【答案】2（二）课堂设计1.知识回顾（1）确定圆的元素有圆心和半径（2）圆O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，当dr时，点P在圆O外；当d=r时，点P在圆O上；当dr时，点p在圆O内。（3）大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧2.问题探究探究一 圆的对称性活动 以旧引新师：圆上任意两点间的线段叫_，圆上任意两点间的部分叫_生答：弦 弧师：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？学生抢答：是； 经过圆心的直线；无数条【设计意图】设置问题，引发对圆的轴对称性质及其结论的思考探究二 圆的对称性及垂径定理 活动 大胆猜想，探究新知用纸
5、剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（课件：探究圆的性质）学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合.由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴【设计意图】创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容活动 实际操作，验证新知按下面的步骤做一做：第一步，在一张纸上任意画一个O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；第二步，得到一条折痕CD；第三步，在O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足；第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一
6、点B，如图1 图1 图2在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？如图2，连接OA、OB，得到等腰OAB，即OAOB因CDAB，故OAM与OBM都是直角三角形，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AMBM又O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合因此AM=BM，=，同理得到在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质：（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧【设计意图】问题引申，探究垂直于弦的直径的性质，培养学生的探究精神
7、探究三 能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题 活动 基础型例题例1.如图，在O中，C是弧AB的中点，A50 ，则BOC（ ）.A.40 B.45 C.50 D.60【知识点】垂径定理及其推论【答案】A【解题过程】在OAB中，OAOB，所以AB50 。根据垂径定理的推论，OC平分弦AB所对的弧，所以OC垂直平分弦AB，即BOC90 B40 ，所以答案选 A。【思路点拨】利用圆的轴对称性质得到边与角的等量关系练习：如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，则下列结论正确的是（）A.DE=BE B. C. BOC是等边三角形 D.四边形ODBC是菱形【知识点】垂径定理及其推论【解题过程】根据垂
8、径定理判断即可ABCD，AB过O DE=CE，=，根据已知不能推出DE=BE，BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形故选B【思路点拨】利用圆的轴对称性质得到边与角的等量关系【答案】B【设计意图】垂径定理的简单应用，利用垂径定理得到边与角的等量关系活动 提升型例题 例2.如图，O的弦AB8，M是AB的中点，且OM3，则O的半径等于（）A8 B4 C10 D5【知识点】垂径定理，勾股定理.【数学思想】数形结合【解题过程】根据圆的直径垂直平分弦的垂径定理，知OAM是直角三角形，在RtOAM中运用勾股定理有：。故选D。【思路点拨】添加辅助线构造直角三角形【答案】D练习：如图，将半径为2cm的圆形纸片
9、折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（ ） A、2cm B、cm C、cm D、cm【知识点】垂径定理，勾股定理。【数学思想】数形结合【解题过程】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长：作ODAB于D，连接OA，根据题意得OD=OA=1cm，根据勾股定理得：AD=cm，根据垂径定理得AB=2cm。故选C。【思路点拨】添加辅助线构造直角三角形【答案】C【设计意图】垂径定理里面有线段的垂直关系，常与勾股定理结合，得到新的线段长度活动3 探究型例题 例3.如图，O的弦AB垂直平分半径OC，若AB=，则O的半径为（ ）A、B、 C、D、【知识点】垂径定理，勾股
10、定理。【数学思想】数形结合【解题过程】如图，连接OA，设O的半径为r，由于AB垂直平分半径OC，AB=，则由垂径定理得，AD，OD，在RtAOD中，由勾股定理得OA2OD2AD2，即r2（）2（）2，解之得，r。故选A。【思路点拨】添加辅助线构造直角三角形【答案】A练习：如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，作CDAB交外圆于点C测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径为cm 【知识点】垂径定理，勾股定理。【数学思想】数形结合【解题过程】解：如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC，CD=10cm，AB=60cm，设
11、半径为r，则OD=r10，根据题意得：r2=（r10）2+302，解得：r=50，故答案为50【思路点拨】解题的关键是正确构造直角三角形，利用垂径定理求解【答案】50【设计意图】垂径定理常与勾股定理结合求线段的长，对于不能直接求出的线段长，要学会设未知数求解。活动4 垂径定理在实际生活中的应用例4.某条河上有一座圆弧形拱桥ACB，桥下面水面宽度AB为7.2米，桥的最高处点C离水面的高度2.4米现在有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？说明理由【知识点】垂径定理的应用，勾股定理。【数学思想】数形结合【解题过程】解：能通过.设圆心为O，连结OA
12、，ON，OD，对图形进行点标注. AB=7.2，CD=2.4，EF=3，点D为AB、EF中点 OCAB，OCMN设OA=R，则OD=OC-DC=R-2.4，AD=AB=3.6在RtOAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，即R2=(3.6)2+(R-2.4)2解得R=3.9在RtONG中， FN=DG=OG-OD=3.6-(OC-CD)=3.6-(3.9-2.4)=2.1 22.1 货船可以顺利通过这座拱桥【思路点拨】首先分析题意，然后采取一定的策略来说明能否通过这座拱桥，这时要采取一定的比较量，才能说明能否通过，比如，计算一下在上述条件下，在宽度为3米的情况下的高度与2米作比较，若大于
13、2米说明能经过，否则就不可以经过这座拱桥【答案】能通过练习：银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道如图所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道? 【知识点】垂径定理的应用，勾股定理。【数学思想】数形结合【解题过程】如图所示，连接OA，过O作OEAB，垂足为E，交圆于F，则AE=AB = 30 cm令O的半径为R，则OA=R，OEOF-EFR-10在RtAEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+(R-10)2解得R =50 cm修理人员应准备内径为100 cm的管道【思路点拨】进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理的基本结构图【答案】100 cm【设计意图】数学来源于生活，应用与生活。设计此题的意图是本节的垂径定理对实际生活的指导和应用。3.课堂总结（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；（2）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；（3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧重难点归纳（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）构造直角三角形，巧妙设未知数解决问题.（三）课后作业基础型 自主突破1.如图，O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E若AB=6cm，则AE= cm
