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1、第24章 章末回顾一、本章思维导图二、典型例题讲解例1（1）如图，O是ABC的外接圆，直径AD=4，ABC=DAC，则AC长为 【知识点】三角形的外接圆、圆周角定理、勾股定理【数学思想】转化思想、方程思想【解题过程】解：连接DC，AD是O的直径ACD90又ABC=DAC，ABCADCADC =DACACDC设ACDCAD=4，ACD90由勾股定理：，即解得：AC【思路点拨】在圆中，根据直径所对的圆周角是直角这一性质，往往会围绕直径构造直角三角形（即图中的RtADC）同时在圆中，根据同弧或等弧所对的圆周角相等这一性质，进行等角的转化（即图中的ABCADC）（2）如图，在半径为5的圆O中，AB，C
2、D是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，求OP的长【知识点】垂径定理、等弦对等弦心距、等圆的有关性质、正方形的判定和性质、勾股定理【数学思想】方程思想【解题过程】解：过点O分别作AB、CD的垂线，垂足分别为E、FDFFC又DC8DF4又OD5在RtOFD中，由勾股定理得OF又ABCD，OFDC，OEABFPEPEOPFO四边形OEPF是矩形又ABCDOEOF矩形OEPF是正方形OFPF3在RtOFP中，由勾股定理得：OP【思路点拨】本题需根据垂径定理构造由“半径半弦长弦心距”组成的直角三角形例2如图是某公园的一角，AOB=90，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上
3、，CDOB，求图中休闲区（阴影部分）的面积是多少？【知识点】扇形面积、三角形面积、含30的直角三角形、勾股定理【数学思想】割补思想【解题过程】解：连接DO，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，OC=OA=6=3米，AOB=90，CDOB，CDOA，在RtOCD中，OD=6米，OC=3米ODC30DOC=60又在RtODC中，由勾股定理得：DC米S阴影=S扇形AODSDOC=平方米【思路点拨】阴影部分的面积不太好直接求，可以通过连接OD，用扇形AOD的面积减去DOC的面积来得到，而求扇形AOD面积的关键是圆心角AOD的度数例3如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于点D，过点D
4、作EFAC于点E，交AB的延长线于点F（1）求证：EF是O的切线；（2）当BAC60时，DE与DF有何数量关系？请说明理由；【知识点】等腰三角形的判定和性质，平行的判定和性质，圆的切线的判定，圆周角定理，含30角的直角三角形的性质【数学思想】转化思想【解题过程】（1）证明：连接OD，ABACABCC又ODOBABCODB。ODBC。ODACAEDODF又EFACAED90ODF90ODEFEF是O的切线。（2）DE与DF的数量关系为：DF2DE。理由如下：连接ADAB是O的直径ADBCABAC，BAC60， CADDABBAC30。F90BAC906030， DAFFADDF又EAD30，EF
5、ACAD2DEDF2DE【思路点拨】（1）要证EF是O的切线，只要证EF垂直于过切点的半径，故连接OD，从而由等腰三角形等边对等角的性质和平行的性质即可得到证明。（2）要证DF2DE，即要考虑把它们放到同一个三角形中。一方面可以由直径所对圆周角是直角的定理和等腰三角形底边上三线全一的性质证明ADDF；另一方面可以由含30角的直角三角形中30角所对的边是斜边一半的性质证明AD2DE。从而得证。24章 章末检测（王鹏鹏）一、选择题1.下列说法正确的是（）A三点确定一个圆B一个三角形只有一个外接圆C和半径垂直的直线是圆的切线D三角形的内心到三角形三个顶点距离相等【知识点】圆的认识【解题过程】解：A、
6、不共线的三点确定一个圆，所以A选项错误；B、一个三角形只有一个外接圆，所以B选项正确；C、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线，所以C选项错误；D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以D选项错误故选B【思路点拨】根据确定圆的条件对A、B进行判断；根据切线的判定定理对C进行判断；根据三角形内心的性质对D进行判断【答案】B2.如图，AB是O的直径，CD是O的弦，ACD=30，则BAD为（）A30 B50 C60 D70【知识点】圆周角定理. 【数学思想】数形结合【解题过程】解：连接BD，ACD=30，ABD=30，AB为直径，ADB=90，BAD=90ABD=60故选C【思路点拨】连接BD，
7、根据直径所对的圆周角是直角，得ADB=90，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得ABD=ACD，从而可得到BAD的度数【答案】C3.如图，O的半径OC垂直于弦AB，垂足为D，OA=2，B=22.5，AB的长为（）A2 B4 C2 D4【知识点】垂径定理，勾股定理【数学思想】数形结合【解题过程】解：由圆周角定理，得O=2B=45，AD=OD=2=2，由垂径定理，得AB=2AD=4，故选：B【思路点拨】根据圆周角定理，可得O，根据等腰直角三角形性质和勾股定理，可得AD的长，根据垂径定理，可得答案【答案】B4.一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（）A1.5cm B7.5cm
8、 C1.5cm或7.5cm D3cm或15cm【知识点】点与圆的位置关系 【数学思想】数形结合，分类讨论【解题过程】解：分为两种情况：当点P在圆内时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为9cm，则直径是15cm，因而半径是7.5cm；当点P在圆外时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为9cm，则直径是3cm，因而半径是1.5cm故选C【思路点拔】点P应分为位于圆的内部和外部两种情况讨论当点P在圆内时，直径=最小距离+最大距离；当点P在圆外时，直径=最大距离最小距离【答案】C5.如图，O的半径为3，四边形ABCD内接于O，连接OB、OD，若BOD=BCD，则的长为（）A B C2 D3【知识点】
9、弧长的计算；圆内接四边形的性质 【数学思想】数形结合【解题过程】解：四边形ABCD内接于O，BCD+A=180，BOD=2A，BOD=BCD，2A+A=180，解得：A=60，BOD=120，的长=2；故选：C【思路点拔】由圆内接四边形的性质和圆周角定理求出A=60，得出BOD=120，再由弧长公式即可得出答案。【答案】C6.如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（）A B2 C6 D8【知识点】垂径定理；勾股定理【数学思想】数形结合【解题过程】解：连接OC，由题意，得OE=OAAE=41=3，CE=ED=，CD=2CE=2，故选：B【思路点拨】根据垂径定理
10、，可得答案【点评】B7已知：如图，在O中，OABC，AOB=70，则ADC的度数为（）A30 B35 C45 D70【知识点】圆周角定理；垂径定理 【数学思想】数形结合【解题过程】解：OABC，AOB=70，ADC=AOB=35故选B【思路点拔】先根据垂径定理得出，再由圆周角定理即可得出结论【答案】B8.如图，在RtABC中，ACB=90，A=56以BC为直径的O交AB于点DE是O上一点，且，连接OE过点E作EFOE，交AC的延长线于点F，则F的度数为（）A92 B108 C112 D124【知识点】圆心角、弧、弦的关系；多边形内角与外角菁优网版权所有【数学思想】数形结合【解题过程】解：ACB
11、=90，A=56，ABC=34，2ABC=COE=68，又OCF=OEF=90，F=360909068=112故选：C【思路点拔】直接利用互余的性质再结合圆周角定理得出COE的度数，再利用四边形内角和定理得出答案【答案】C9.点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（）A或2 B或2 C或2 D或2【知识点】圆心角、弧、弦的关系；菱形的性质【数学思想】数形结合，分类讨论【解题过程】解：过B作直径，连接AC交BO于E，点B为的中点，BDAC，如图，点D恰在该圆直径的三等分点上，BD=23=2，OD=OBB
12、D=1，四边形ABCD是菱形，BE=BD=1，OE=OB-BE=3-1=2，连接OC，CE=，边CD=；如图，BD=23=4，同理可得，OD=1，OE=1，DE=2，连接OD，CE=2，边CD=2，故选D 【思路点拨】过B作直径，连接AC交OB于E，如图，根据已知条件得到BD=23=2，如图，BD=23=4，求得OD=1，OE=1，DE=2，连接OD，根据勾股定理得到结论，【答案】D10. 如图，扇形DOE的半径为3，边长为的菱形OABC的顶点A，C，B分别在OD，OE，DE上，若把扇形DOE围成一个圆锥，则此圆锥的高为（ ）A B C D【知识点】菱形性质、等边三角形、圆锥的侧面展开图、勾股定理【数学思想】方程思想G【解题过程】连结AC、OB，相交于点G，由菱形性质得ACOB，OG=GBOB在RtOGA，AG所以,，即AOC是等边三角形扇形弧长为：设围成的圆锥底面半径为r，则底面周长为，得，所以圆锥的高为【思路点拔】本题主要考查圆锥的有关计算，关键在于求出扇形DOE的圆心角，具有一定的综合性【答案】D11.如图，四边形ABCD是菱形，A=60，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60，则图中阴影部分的面积是（）A B C D【知识点】扇形面积的计算；菱形的性质
