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1、第二章,结构优化设计的 理论基础,第二章 结构优化设计的理论基础,2.1 数学预备知识,2.2 函数的极值与凸性,2.3 无约束极值问题的最优性条件,2.4 等式约束极值问题的最优性条件,2.5 不等式约束极值问题的最优性条件,2.7 Lagrange乘子的物理意义,2.8 结构优化设计的数值计算算法,2.6 一般约束极值问题的最优性条件,第二章,2.1 数学预备知识,2.1 数学预备知识,2.1 数学预备知识,2.1 数学预备知识,2.1 数学预备知识,2.1 数学预备知识,2.1 数学预备知识,2.1 数学预备知识,2.1 数学预备知识,梯度的几何意义,2.1 数学预备知识,2.1 数学预
2、备知识,2.1 数学预备知识,2.1 数学预备知识,2.1 数学预备知识,第二章,2.2 函数的极值与凸性,2.2 函数的极值与凸性,一、无约束最优解与有约束最优解,1. 无约束最优解,2. 有约束最优解,最优点,最优函数值,无约束 优化问题,最优点,最优函数值,有约束 优化问题,可行域,2.2 函数的极值与凸性,二、局部最优解与全局最优解,1. 全局最优解,2. 局部最优解,若 是问题的极小点，如果不等式 对于所有的 均成立，则称 为全局极小点或全局最优解。,如果存在 的某个邻域 ，使得不等式 对于任意的 都成立，则称点 为问题的局部极小点或局部最优解（简称局优解）。,3. 严格极小点,如果
3、在上述情况下，不等式处处严格成立，则称 为严格全局极小点或严格局部极小点。,2.2 函数的极值与凸性,三、函数的凸性,（一）凸集,1. 定义,设集合,2. 性质,任意多个凸集的交集是凸集 两个凸集的代数和是凸集 凸集的数乘是凸集 凸集的闭包是凸集,，如果,，若,仍然有,，则称 为一个凸集。,2.2 函数的极值与凸性,2.2 函数的极值与凸性,（二）凸函数,1. 定义,2. 几何意义,如果,，若,有,，则称 为一个凸函数。,凸函数：弦在弧上,凹函数：弦在弧下,2.2 函数的极值与凸性,（二）凸函数,3. 判别,判别,判别,若函数 在凸集 上存在二阶导数并连续时，,凸函数的充分必要条件为海赛矩阵
4、半正定。,为 上,2.2 函数的极值与凸性,（二）凸函数,4. 性质, 凸函数的非负线性组合仍为凸函数。 实值凸函数的非减函数仍为凸函数。 如果所有约束函数 均为在 上的凸函数，则 中满足 的子集 为凸集。,（三）凸规划,1. 定义,如果可行域 为凸集，而且目标函数 在 上为凸函数，则 称为凸规划问题。,2. 定理,凸规划问题的局部极小点就是其全局极小点。,第二章,2.3 无约束极值问题 的最优性条件,Graduate Course of Optimum Design of Structures HIT, Lu Dagang, Spring 2007,2.3 无约束极值问题的最优性条件,2.3
5、 无约束极值问题的最优性条件,2.3 无约束极值问题的最优性条件,2.3 无约束极值问题的最优性条件,2.3 无约束极值问题的最优性条件,2.3 无约束极值问题的最优性条件,2.3 无约束极值问题的最优性条件,平稳点与极值点,2.3 无约束极值问题的最优性条件,2.3 无约束极值问题的最优性条件,2.3 无约束极值问题的最优性条件,第二章,2.4 等式约束极值问题 的最优性条件,Graduate Course of Optimum Design of Structures HIT, Lu Dagang, Spring 2007,2.4 等式约束极值问题的最优性条件,2.4 等式约束极值问题的最
6、优性条件,h(x)=0,2.4 等式约束极值问题的最优性条件,2.4 等式约束极值问题的最优性条件,2.4 等式约束极值问题的最优性条件,第二章,2.5 不等式约束极值问题 的最优性条件,Graduate Course of Optimum Design of Structures HIT, Lu Dagang, Spring 2007,2.5 不等式约束极值问题的最优性条件,2.5 不等式约束极值问题的最优性条件,2.5 不等式约束极值问题的最优性条件,2.5 不等式约束极值问题的最优性条件,=0,2.5 不等式约束极值问题的最优性条件,2.5 不等式约束极值问题的最优性条件,2.5 不等式
7、约束极值问题的最优性条件,2.5 不等式约束极值问题的最优性条件,K-K-T条件的几何意义,（1）K-K-T条件,K-K-T条件,（梯度条件）,（约束条件）,（松弛互补条件）,（非负条件）,（正则条件或约束规格）,线性无关,定义：,处起作用的约束,处没有起作用的约束（可行域内部 没有约束限制）,处起作用的约束,夹角；,夹角；,最优点 ， 一定在 与 之间， 所以 可以起作用的 非负线性组合表示。,起作用的约束经过最优点 ，,最优点满足所有的约束条件，,这就是K-K-T条件，,2.5 不等式约束极值问题的最优性条件,2.5 不等式约束极值问题的最优性条件,2.5 不等式约束极值问题的最优性条件,
8、2.5 不等式约束极值问题的最优性条件,2.5 不等式约束极值问题的最优性条件,2.5 不等式约束极值问题的最优性条件,2.5 不等式约束极值问题的最优性条件,2.5 不等式约束极值问题的最优性条件,2.5 不等式约束极值问题的最优性条件,2.5 不等式约束极值问题的最优性条件,2.5 不等式约束极值问题的最优性条件,2.5 不等式约束极值问题的最优性条件,2.5 不等式约束极值问题的最优性条件,第二章,2.6 一般约束极值问题 的最优性条件,Graduate Course of Optimum Design of Structures HIT, Lu Dagang, Spring 2007,
9、2.6 一般约束极值问题的最优性条件,2.6 一般约束极值问题的最优性条件,2.6 一般约束极值问题的最优性条件,2.6 一般约束极值问题的最优性条件,2.6 一般约束极值问题的最优性条件,第二章,2.7 Lagrange乘子的 物理意义,Graduate Course of Optimum Design of Structures HIT, Lu Dagang, Spring 2007,2.7 Lagrange乘子的物理意义,2.7 Lagrange乘子的物理意义,2.7 Lagrange乘子的物理意义,2.7 Lagrange乘子的物理意义,2.7 Lagrange乘子的物理意义,2.7 Lagrange乘子的物理意义,第二章,2.8 结构优化设计的 数值计算方法,Graduate Course of Optimum Design of Structures HIT, Lu Dagang, Spring 2007,2.8 结构优化设计的数值计算方法,2.8 结构优化设计的数值计算方法,
