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1、第十六章 虚位移原理,系统的约束及其分类 虚位移及其计算,引 言,虚位移原理，是用分析的方法来研究任意质点系的平衡问题。这部分内容称为分析静力学。虚位移原理给出的平衡条件，对于任意质点系的平衡都是必要与充分的，因此它是解决质点系平衡问题的普遍原理。同时，将虚位移原理和达朗伯原理相结合，可以导出动力学普遍方程和拉格朗日方程，从而得到求解质点系动力学问题的又一个普遍的方法。,限制质点系中各质点的位置和运动的条件称为约束。表示这些限制条件的表达式称为约束方程。根据约束形式及其性质，约束可分以下类型：,一、几何约束与运动约束,限制质点或质点系在空间的几何位置的约束称为几何约束。如：,约束类型及分类,几
2、何约束方程的一般形式为,不仅能限制质点系的位置，而且能限制质点系中各质点的速度的约束称为运动约束。,为几何约束方程。,为运动约束方程。,运动约束方程的一般形式为,二、定常约束与非定常约束,约束条件不随时间变化的约束称为定常约束。,约束条件随时间变化的约束称为非定常约束。,其约束方程为,非定常约束方程的一般形式为,三、双面约束与单面约束,同时限制质点某方向及相反方向运动的约束称为双面约束。,只能限制质点某方向的运动，而不能限制相反方向运动的约束称为单面约束。其约束方程的一般形式为,四、完整约束与非完整约束,几何约束或其约束方程能够积分的运动约束称为完整约束。,如果在约束方程中显含坐标对时间的导数
3、，并且不可以积分，这种约束称为非完整约束。,本章只研究定常的双面的完整的几何约束问题。,一、虚位移的概念,在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何微小的位移，称为该质点系的虚位移。如,虚位移原理,必须指出，虚位移和实位移都受约束的限制，是约束所允许的位移，但二者是有区别的。实位移是在一定的力作用下和给定的运动初始条件下，在一定的时间内发生的位移，具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值。而虚位移纯粹是一个几何概念，它既不牵涉到系统的实际运动，也不涉及到力的作用，与时间过程和运动的初始条件无关，它一定是微小值，在约束允许的条件下具有任意性。一个静止的质点或质点系不会发生实位移，但可
4、以有虚位移。在定常约束的情况下，微小实位移必定是虚位移中的一个。在非定常约束的情况下，实位移与虚位移没有关系。,二、虚位移的计算,1、几何法,这里仅讨论定常约束的情形。在此条件下，真实位移是虚位移中的一个。因此可以用求实位移的方法来求各质点虚位移之间的关系。这种方法又称虚速度法。例如：,由于AB作平面运动，由速度投影定理,或者，由于 为AB的瞬心，故,由正弦定理,同样可得,2、解析法,解析法是利用对约束方程或坐标表达式进行变分以求出虚位移之间的关系。例如,对上式进行变分运算得,或者把 表示成 的函数，也可求出虚位移间的关系。,因为,作变分运算,所以,比较以上两种方法，可以发现，几何法直观，且较
5、为简便，而解析法比较规范。,如图所示，设某质点受力 作用，并给该质点一个虚位移 ，则力 在虚位移 上所作的功称为虚功，即,或,显然，虚功也是假想的，它与虚位移是同阶无穷小量。,如果在质点系的任何虚位移中，所有的约束反力所作虚功的和等于零，则这种约束称为理想约束。其条件为,三、 虚位移原理,常见的理想约束有：,支承质点或刚体的光滑固定面、连接物体的光滑铰链、连接两个质点的无重刚杆、连接两个质点不可伸缩的绳索、无滑动的滚动。,具有双面、定常、理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的、必要与充分条件是：所有作用于质点系上的主动力，在该位置的任何虚位移中所作的虚功之和等于零。其数学表达式为,或,或用解析
6、式表示为,以上三式称为虚功方程。虚位移原理也称虚功原理。,一、求主动力之间的关系,例1 、 图示机构中，已知OA=AB=l， ， 如不计各构件的重量和摩擦，求在图示位置平衡时主动力 与 的大小之间的关系。,解1：以系统为研究对象，受的主动力 有 、 。给系统一组虚位移如图。,四、例题讲解,将以上关系代入前式得,由于 ，于是得,AB作平面运动，瞬心在 点，则,亦可由速度投影定理求虚位移之间的关系：,由速度投影定理,解2：解析法。建立如图坐标。,由于,且,对上两式作变分，得,即,由于 ，于是得,例2 图示机构中，当曲柄OC绕轴摆动时，滑块A沿曲柄自由滑动，从而带动杆AB在铅垂导槽K内移动。已知OC
7、=a，OK=l，在C点垂直于曲柄作用一力Q，而在B点沿BA作用一力P。求机构平衡时，力P与Q的关系。,解1：（几何法）以系统为研究对象，受的主动力有P、Q 。给系统一组虚位移如图。,其中,式中,故有,由于 ，于是得,主动力作用点的坐标及其变分为,主动力在坐标方向上的投影为,解2 解析法:建立如图坐标。,即,亦即,由于 ，于是得,解3：综合法。,本题用解析法计算 力的虚功，用几何法计算 力的虚功，此时虚功方程可以写为,即,可得同样的结果。,二、求系统的平衡位置,例3 图示平面机构，两杆长度相等。在B点挂有重W的重物。D、E两点用弹簧连接。已知弹簧原长为l，弹性系数为k，其它尺寸如图。不计各杆自重
8、。求机构的平衡位置。,解：以系统为研究对象，建立如图的坐标。,系统受力有主动力 ，以及非理想约束的弹性力 和 ，将其视为主动力。其弹性力的大小为,主动力作用点的坐标及其变分为,主动力在坐标方向上的投影为,即,亦即,因 ，故,将F代入，化简得,三、求约束反力,例4 试求图示多跨静定梁铰B处的约束反力。,解：以梁为研究对象，解除B处约束，代之以相应的约束反力 ，并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。,由虚位移原理有,由图知,于是得,从而有,例题5. 多跨梁由AC和CE用铰C连接而成。荷载分布如图示.P=50KN，均布荷载q=4KN/m，力偶矩m=36KN.m ；求支座A、B和E的约束反力。,解
9、: 解除支座A的约束,代之约束反力RA,画虚位移图如下. 其中Q1=24KN, Q2=24KN.,1,2,rA,rC,B是AC杆的瞬心.,E是CE杆的瞬心.,利用虚位移图得:,rC = (BC)1 = (CE)2,1 = 22,B,E,W(RA) =6 RA1,W(P) = -1501,6RA1-1501+721+2162 - 362 = 0,RA = -2KN,W(Q1) =721,W(Q2) = 2162,W(m) = - 362,由虚位移原理得:,利用虚位移图计算虚功,解除支座B的约束,代之约束反力RB ,画虚位移图.,E是CE杆的瞬心.,利用虚位移图得:,rC = (AC)1 = (C
10、E)2,1 = 2 = ,rC,1,2,RB,E,W(P) =1501,由虚位移原理得:,RB = 91 KN,W(RB) = - 6RB1,W(Q1) = 2161,W(Q2) = 2162,W(m) = - 362,-6RB1+1501+2161+2162 -362 = 0,利用虚位移图计算虚功,rC,1,2,RB,E,解除支座E的约束,代之约束反力RE画虚位移图.,rE,利用虚位移图计算虚功,W(RE) = 12RE,W(m) = -36,W(Q2) = -72,由虚位移原理得:,12RE - 72 - 36 = 0,RE = 9 KN,RE,例6 图示多跨静定梁，试求A端处约束反力偶矩
11、及铅垂反力。已知： , , , 长度单位为m。,解：（1）求A端约束反力偶矩。,以梁为研究对象，解除A处限制转动的约束，代之以相应的约束反力偶矩 ，并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。,由虚位移原理有,由几何关系得,于是得,故有,（2）求A处铅垂反力,解除A处铅垂的约束，代之以相应的约束反力Y，并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。,由虚位移原理有,于是有,由几何关系得,故有,例7 ： 求图示静定刚架支座D处的水平反力。,解：以刚架为研究对象，解除D处的水平约束，代之以相应的约束反力 ，并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。,由虚位移原理有,于是支座D的水平反力为,故,于是有,由
12、运动学关系,四、求桁架杆件及组合结构的轴力,例8：求图示桁架杆1和杆2的轴力。,解：以桁架为研究对象，解除1杆的约束，代之以相应的约束反力，并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。由虚位移原理有:,由几何关系得,于是得,解除2杆的约束，代之以相应的约束反力，并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。,由虚位移原理有,由几何关系得,于是得,例9. 组合构架如图所示。已知P=10KN，不计构件自重,求1杆的内力。,解:截断1杆代之内力S1和S1且S1= S1 =S，画虚位移图。,rC,1,2,B为BC的瞬心.,利用虚位移图得:,rC = (AC)1 = (BC)2,1 = 2 = ,B,S1,S1,利用虚位移图求虚功,W(S1) = - 2 S12,W(S1) = - 2S11,W(P) = 20P2,S = 5 KN,由虚位移原理得:,- 2S11 - 2 S12+20 P2 = 0,本章结束,
