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1、第八章 重积分第一节 二重积分的概念和性质,设有一立体. 其底面是 xy 面上的区域D, 其侧面为母线平行于 z 轴的柱面, 其顶是曲面 z= f (x, y)0, 连续. 称为曲顶柱体.,若立体的顶是平行于 xy 面的平面. 则平顶柱体的体积 = 底面积高.,如图,一、引例,1.求曲顶柱体的体积V.,步骤如下：,（1）分割（化整为零）：先分割曲顶柱体的底，把有界闭区域任意分割成n个小闭区域,z = f (x,y),（ 2）近似代替：由于 很小, z = f (x,y)连续, 小曲顶柱体可近似看 作顶柱体.,顶柱体的高 = f ( i , i).,若记 i = Di的面积.,则顶柱体的体积 =
2、 f ( i , i) i 小曲顶柱体体积,（4）取极限（无限趋近）：,（3）求和（积零为整）：将n个顶柱体的体积加起来，就得到整个曲顶柱体的体积近似值域,则曲顶柱体的体积为,求平面薄片的质量,（1）分割（化整为零）： 将薄片分割成n个小块，,（2）近似代替：任取一小块，将其近似 看作均匀薄片，则其质量近似为,（3）求和（积零为整）：,则薄片总质量为,将所有小块质量近似值相加，便得到整个平面 薄片的近似值,（4）取极限（无限趋近）：,二、二重积分的定义,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,对二重积分定义的说明：,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体
3、积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，,故二重积分可写为,则面积元素为,性质,当 为常数时，,性质,（二重积分与定积分有类似的性质）,三、二重积分的性质,性质,对区域具有可加性,性质,若 为D的面积，,性质,若在D上,特殊地,则有,性质,性质,（二重积分中值定理）,（二重积分估值不等式）,解,解,解,二重积分的定义,二重积分的性质,二重积分的几何意义,（曲顶柱体的体积）,（和式的极限）,四、小结,思考题,将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.,定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数,思考题解答,
