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1、无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,傅里叶级数,第十一章,11.1 常数项级数的概念和性质,定义：,给定一个数列,将各项依,即,称上式为（常数项）无穷级数，简称级数。,其中第 n 项,叫做级数的一般项,次相加, 简记为,一、常数项级数的概念,部分和数列,收敛 ,则称无穷级数,并称 S 为级数的和,记作,级数的前 n 项和,称为级数的部分和.,当级数收敛时, 称差值,为级数的余项.,则称无穷级数发散 .,显然,例1. 判别下列级数的敛散性:,解: (1),所以级数 (1) 发散 ;,技巧:,利用 “拆项相消” 求和,解: (2),解,收敛
2、,发散,发散,因此,n 为奇数,n 为偶数,从而,不存在 , 因此级数发散.,综上,时, 等比级数收敛 ,且其和为 ;,时, 等比级数发散 .,二、级数收敛的必要条件,设收敛级数,则必有,证:,可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .,例如,均发散.,注意:,并非级数收敛的充分条件.,例如, 调和级数,虽然,但此级数发散 .,事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则,但,矛盾!,所以假设不真 .,三、级数的基本性质,性质1. 若级数,收敛于 S ,则各项,乘以常数 c 所得级数,也收敛 ,证: 令,则,这说明,收敛 , 其和为 c S .,说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不
3、变 .,即,其和为 c S .,性质2. 设有两个收敛级数,则级数,也收敛, 其和为,证: 令,则,这说明级数,也收敛, 其和为,说明:,(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则,必发散 .,但若二级数都发散 ,不一定发散.,例如,(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .,(用反证法可证),性质3.,在级数前面加上、去掉或改变有限项, 不会影响级数,的敛散性.,证: 将级数,的前 k 项去掉,的部分和为,数敛散性相同.,当级数收敛时, 其和的关系为,类似可证前面加上有限项的情况 .,极限状况相同,故新旧两级,所得新级数,则新级数的部分和数列,为原级数部分和,数列,的一个子数列,因此必有,性质4.,收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原级数,的和.,证: 设收敛级数,若将其任意加括号, 例如,其部分和,推论: 若加括号后的级数发散, 则原级数必发散.,注意: 收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.,但,发散.,例如，,例4.判断级数的敛散性:,解: 考虑加括号后的级数,发散 ,从而原级数发散 .,
