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1、第一章 函数与极限 第五节 无穷小与无穷大,主要内容：,一、无穷小的概念性质,二、无穷小的比较,三、无穷大及其与无穷小的关系,一、无穷小的概念与性质,1、定义1：,例如,注意,（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.,2、无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,意义,（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,3、无穷小的运算性质:,定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,都是无穷小,定理
2、3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,二、无穷小的比较,例如,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,观察各极限,定义2:,例如，,下面我们给出一些常用的当x0时的等价无穷小：,等价无穷小代换,定理4 (等价无穷小代换定理),证,例,解,若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限,不能滥用等价无穷小代换.,切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.,注意,例,解,例,解,解,错,小结,1、无穷小的比较,反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可
3、进行比较.,2、等价无穷小的代换,求极限的又一种方法, 注意适用条件.,高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.,三、无穷大,定义3：,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,无穷小与无穷大的关系,定理5 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,内容小结,1、主要内容:,2、几点注意:,无穷小与无穷大是相对于自变量的变化过程而言的.,（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混 淆，零是唯一的无穷小的数；,（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；,（3） 无界变量未必是无穷大., 无穷小与无穷大的定义； 无穷小与函数极限关系； 等价无穷小代换定理； 无穷小与不穷大的关系.,思考题,1、任何两个无穷小都可以比较吗？,思考题解答,不一定,例当 时,都是无穷小量,但,不存在且不为无穷大,故当 时,四、习题演练,课本P42 4、6 课本P59-P60 1、2,课后练习 P59P60 3、4,
