《高等数学B1 6-3 高阶微分方程课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学B1 6-3 高阶微分方程课件（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、机动 目录 上页 下页 返回 结束,高阶微分方程(1),第三节,3.1 高阶线性方程及其解的结构,3.2 高阶常系数齐次线性方程,第六章,实例（弹簧振子）,当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态,例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:,阻力的大小与运动速度,下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向,物体在弹性力与阻,取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.,设时刻 t 物位移为 x(t).,(1) 自由振动情况.,弹性恢复力,物体所受的力有:,(虎克定律),成正比, 方向相反.,建立位移满足的微分方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,据牛顿第
2、二定律得,则得有阻尼自由振动方程:,阻力,(2) 强迫振动情况.,若物体在运动过程中还受铅直外力,则得强迫振动方程:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,n 阶线性微分方程的一般形式为,可归为二阶线性微分方程,例1,时, 称为非齐次方程 ;,时, 称为齐次方程.,回顾: 一阶线性方程,通解:,非齐次方程特解,齐次方程通解Y,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(6.40),(6.41),(6.42),证毕,3.1 高阶线性微分方程及其解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,证:,代入方程左边, 得,(叠加原理),定理3.1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 齐次线性微
3、分方程解的结构,说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义:,是定义在区间 I 上的,n 个函数,使得,则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在( , )上都有,故它们在任何区间 I 上都线性相关;,又如，,若在某区间 I 上,则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为 0 ,可见,在任何区间 I 上都 线性无关.,若存在不全为 0 的常数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两个函数在区间 I 上线
4、性相关与线性无关的充要条件:,线性相关,存在不全为 0 的,使,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为 0, 则,必线性,相关,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 3.2,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解, 则,数) 是该方程的通解.,例如, 方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,(自证),推论.,是 n 阶齐次方程,的 n 个线性无关解,则方程的通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 非齐次 线性方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理 3.3,则,是非齐次方程的通解 .,证: 将,代入方程左端, 得,复习 目录 上页 下页 返
5、回 结束,是非齐次方程的解,又Y 中含有,两个独立任意常数,例如, 方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,证毕,因而 也是通解 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 3.4,分别是方程,的特解,是方程,的特解. (非齐次方程之解的叠加原理),定理3.3, 定理3.4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3. 5,是对应齐次方程的 n 个线性,无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,常数, 则该方程的通解是 ( ).,设线性
6、无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是任意,例3.,提示:,都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解 .,解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 二阶常系数齐次线性微分方程:,和它的导数只差常数因子,代入(6.46)得,称(6.47)为微分方程(6.46)的特征方程,( r 为待定常数 ),（6.46）,所以令的解为,其根称为特征根.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.2 高
7、阶常系数齐次线性微分方程,结论:,特征方程:,实根,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)若特征方程含 k 重复根,则其通解中必含,对应项,特征方程:,推广:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1)若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项,例1.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,例2. 求解初值问题,解: 特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程通解为,例4.,解: 特征方程:,
8、特征根 :,原方程通解:,(不难看出, 原方程有特解,推广 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,解: 特征方程:,即,其根为,方程通解 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.,解: 特征方程:,特征根为,则方程通解 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,解:,位移满足自由振动方程 ,质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始,求物体的运动规律,立坐标系如图,设 t = 0 时物体的位置为,取其平衡位置为原点建,因此定解问题为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方程:,特征方程:,特征根:,利用初始条件得:,故所求特解:,方程通解:,1) 无阻
9、尼自由振动情况 ( n = 0 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解的特征:,简谐振动,A: 振幅, : 初相,周期:,固有频率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(仅由系统特性确定),方程:,特征方程:,特征根:,小阻尼: n k,这时需分如下三种情况进行讨论:,2) 有阻尼自由振动情况,大阻尼: n k,临界阻尼: n = k,解的特征,解的特征,解的特征,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( n k ),小阻尼自由振动解的特征 :,由初始条件确定任意常数后变形,运动周期:,振幅:,衰减很快,随时间 t 的增大物体 趋于平衡位置.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( n k ),大阻尼解的特征:,1) 无振荡现象;,此图参数:,2) 对任何初始条件,即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( n = k ),临界阻尼解的特征 :,任意常数由初始条件定,最多只与 t 轴交于一点;,即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.,2) 无振荡现象 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,特征根:,(1) 当,时, 通解为,(2) 当,时, 通解为,(3) 当,时, 通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 高阶线性微分方程解得结构,2. 高阶齐次线性微分方程求解,作业：,
