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1、扭转,第三章,3-1 概述,3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,3-3 薄壁圆筒的扭转,3-5 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件,3-7 圆杆的极限扭矩,3-4 等直圆杆的扭转,3-6 矩形截面杆的扭转,目 录,3-1 概述,受力特点:一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆件轴线的外 力偶。,变形特点：相邻横截面绕轴线作相对转动。,任意两横截面绕轴线转动的相对角位移称为扭转角,用 表示。,工程中，把以扭转为主要变形的直杆称为轴。,扭转实例：,3-2 外力偶矩的计算 扭矩及扭矩图,设某传动轴,其传递的功率为P(kW),转速为n（rmin）,功率在1分钟做功：,外力偶矩Me一分钟做功：,一、功率、
2、转速和力偶矩之间的关系,则：,主动轮上外力偶矩的转向和轴的转向一致,从动轮上外力偶矩的转向和轴的转向相反,注意：,方法：截面法,取左：,二、扭矩与扭矩图,T称为m-m截面上的扭矩，它是该截面上切向分布内力的合力偶矩。,取右：,扭矩正负号规定：,扭矩图：为了清楚地表示各截面上的扭矩沿轴线变化的情况，可依照作轴力图的方法绘制扭矩图。,x轴表示横截面位置，T轴表示对应该位置扭矩的大小。,例3-1 已知:传动轴转n=300r/min,主动轮C输入功率PC =360kW,三个从动轮输出功率分别为PA =60kW ，PB =120kW , PD =180kW试绘该轴的扭矩图。,解：,1.计算外力偶矩,例3
3、-1 已知:传动轴转n=300r/min,主动轮C输入功率PC =360kW,三个从动轮输出功率分别为PA =60kW ，PB =120kW , PD =180kW试绘该轴的扭矩图。,2.计算扭矩,1-1截面,得：,2-2截面,得：,3-3截面,得：,例3-1 已知:传动轴转n=300r/min,主动轮C输入功率PC =360kW,三个从动轮输出功率分别为PA =60kW ，PB =120kW , PD =180kW试绘该轴的扭矩图。,3.绘扭矩图,由扭矩图可知：,在BC和CD段,一、薄壁圆筒扭转时的应力与变形,3-3 薄壁圆筒的扭转,实验情形, 各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线
4、作相对转动。, 各纵向线均倾斜了同一角度，所有矩形都变成平行四边形。,因为壁很薄，故可将圆周线绕轴线的转动视为横截面的转动，任意两个横截面相对转动的角度称为相对扭转角。,单元体,由于相邻横截面的距离未变，圆周线长度也未变，故单元体沿x和s方向均无线应变，从而可知杆的横截面和径截面上均无正应力。,单元体左、右两个面发生了相对错动，因错动而倾斜的角度，也就是单元体直角的改变量称为切应变单位为弧度（rad）,与切应变相对应，单元体左、右两个面上必有切应力。,切应力分布规律,（1）因为沿圆周方向所有单元体的切应变是相同的，所以圆周各点处的切应力应相等，而方向垂直于半径。（因为剪切变形发生在垂直于半径的
5、平面内）,（2）又因壁很薄，又可近似 的认为 沿壁厚方向均匀分布。,结论：切应力在横截面均匀分布,得：,微内力对o点的矩：,则,由右图可以得到,式中R为外半径，对于薄壁圆筒可以用平均半径R0代替R,切应变与扭转角的关系,表明：在单元体互相垂直的两个截面上，切应力必然成对存 在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，而指向均 对着或背离两截面的交线。,组成顺时针转向力偶，其矩为,组成逆时针转向力偶，其矩为,得,上述单元体四个侧面上只有切应力而无正应力，这种应力状 态称为纯剪切应力状态。,二、切应力互等定理,（切应力互等定理）,三、塑性材料在纯剪切时的力学性能,由塑性材料制成的薄壁圆筒的扭转实验
6、表明，当外力偶矩在某一范围之内时，扭转角和外力偶矩Me成线性关系。,G称为材料的切变模量，其值随材料而异，由实验测定，常 用单位为GPa。Q235钢：G=80 GPa,引入比例常数G，则,上式称为剪切胡克定律,（3-5）式成立的条件是：,对于各向同性材料，切变模量G、拉（压）模量E及泊松比 三 者之间存在一定的关系,与低碳钢拉伸实验类似，当切应力超过 而达到 时，材料也要发生屈服， 称为材料的剪切屈服极限。,3-4 等直圆杆的扭转,一、横截面上的切应力,要推导出实心圆杆受扭时横截面上的切应力计算公式，关键要确定切应力在横截面上的分布规律。这和薄壁圆筒受扭时相仿，需从研究变形入手，然后利用切应力
7、与切应变之间的关系，最后通过静力学关系，得到切应力的计算公式。下面就从几何、物理和静力学这三方面进行分析。,1.几何方面,（1）表面变形现象：各圆周线的形状、大小及其间距均未改变，只是绕轴线作相对转动；各纵向线均倾斜了同一角度，表面上所有矩形均变成平行四边形。,（2）平面假设：圆杆扭转时，各横截面仍保持为平面，其大小、形状及其间距均未改变；半径仍为直线，只是各横截面像刚性平面一样绕轴线作相对转动。,（3）切应变的变化规律,小变形时, 扭转角沿杆长的变化率,(同一截面处 为常量),故 切应变 和 成正比,将（a）式代入上式得：,2.物理方面,剪切胡克定律：,由（b）式可知，圆杆横截面上的切应力
8、和 成正比，即切应力沿半径方向按线性规律变化，其方向垂直于半径。,令,3.静力学方面,切向内力对o的的矩为：,则有,或,带入（b）式，得,令：,则:,注意：(1)上述公式同样适用空心圆截面杆； (2) 只有圆轴处于弹性范围内时上述切应力公式才成立。,二、极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp的计算,基本公式:,实心轴 ：,空心轴 ：,三、扭转角,相距为l的两个横截面的相对扭转角为,对于长为l、在两端受一对外力偶Me作用的等直杆，此时T、G、IP均为常量，故有,扭转角的单位为弧度(rad)，它的正负号与扭矩T的正负号一致。GIp称为圆杆的扭转刚度。,（普遍式）,关于扭转角的一些讨论：,（2）T(x)和I
9、p(x)情况,（1）若两截面之间T发生变化或IP发生变化，则应分段计算各段 的扭转角，然后再叠加。,例 3-2,已知:传动轴AB转速n=300r/min， 传递的功率P =7.5kW，AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面，D =3cm，d= 2cm。,求：AC段、CB段的最大和最小切应力。,解：,（1）计算扭矩,（2）计算切应力,已知:传动轴AB转速n=300r/min， 传递的功率P =7.5kW，AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面，D =3cm，d= 2cm。,例 3-2,求：AC段、CB段的最大和最小切应力。,解：,（1）计算扭矩,例 3-3,已知:传动轴M1=2.5kN.m， M
10、2=4kN.m， M3=1.5kN.m， G=80GPa,求： C截面相对于A截面的扭转角,（2）计算A、C两截面间的相对扭转角,练习 无缝钢管制成的汽车传动轴，D90mm，2.5mm。,试求:(1) 两种求法的最大切应力比较；(2)把此轴换成同材料且最大切应力相同的实心圆轴，重量之比为多少?,(1)最大切应力,精确值,薄壁,(2)换算,解：,3.5 圆杆扭转时的强度条件和刚度条件,一、强度条件,二、刚度条件,1、强度校核,2、截面尺寸设计,3、确定许可载荷,利用它可以进行以下三方面的计算,解：(1) 作出扭矩图,(2) 强度校核,该轴强度满足要求。,d140mm，,d270mm，,例3- 4
11、,试校核该轴的强度和刚度。,G80GPa。,(3) 刚度校核,由单位长度扭转角的表达式 可知，其最大值应该发生在AB段。,可见该轴刚度也满足要求。,解： (1) 按强度条件确定实心圆轴的直径d0和空心圆轴的外径D以及内径d,实心圆轴：,空心圆轴：,解： (2) 按刚度条件确定实心圆轴的直径d0和空心圆轴的外径D以及内径d,实心圆轴：,空心圆轴：,取d059mm,取D67mm d0.8D54mm,实心圆轴：,空心圆轴：,强度条件,刚度条件,强度条件,刚度条件,(3) 比较重量,空心圆轴比实心圆轴节省材料,3.6 矩形截面杆的扭转,由矩形截面杆受扭时表面变形的情况可知，其横截面将不再保持平面，而将
12、发生“翘曲” 。故前面推导的公式均不再适用。扭转时，若各横截面翘曲程度相同，则所有纵向纤维的长度均未改变，横截面上将没有正应力而只有切应力，这种情况称为自由扭转或纯扭转。此时横截面上切应力规律如图：,其中,Wt也称为扭转截面系数；It称为截面的相当极惯性矩；GIt仍称为杆的扭转刚度,相关数据见书P74页表31,3.7 圆杆的极限扭矩,TS是圆截面边缘屈服时的扭矩，称为屈服扭矩,Tu是圆截面整个截面屈服时的扭矩，称为极限扭矩,1、图示铸铁圆轴受扭时，在 面上发生断裂，其破坏是由 应力引起的。在图上画出破坏的截面。,思考题,45 螺旋,最大拉,2、实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大切应力是原来的 倍？圆轴的扭转角是原来的 倍？,16,8,解：,
