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1、材料力学讲稿（四）第五章 截面的几何特性,一、 重心 二、静矩和形心 三、惯性矩、极惯性矩、惯性积 四、平行移轴公式,一、 重心,1、平行力系的中心 空间平行力系可以合成为一合力。,O,x,y,z,F1,F2,F3,Fn,R,Mo,R,R,d,合理矩定理成立,2、重心,O,x,y,z,C,dV,x,y,z,xc,yc,zc,3、 确定重心的悬挂法与称重法,（1） 悬挂法,图a中左右两部分的重量是否一定相等？,一、 重心,一、重心,测定小车中心位置,l,P,xc,F1,A,C,l,P,C,xc,r,H,h,F1,（2）称重法,二、静矩和形心,静矩,O,x,y,dA,x,y,C,xc,yc,形心,
2、例如，扇形的形心计算如下,R,R,二、静矩和形心,组合图形的形心,10,10,60,40,A1,A2,10,10,60,40,A1,A2,x,y,x,y,面积划分为分割法和负面积法。,示例，图示L型图形,示例： 图示组合截面由一个25c号槽钢截面和两个90 mm90 mm12 mm等边角钢截面组成。试求此截面形心位置。,二、静矩和形心,解：由型钢规格表查得：,25c号槽钢截面,90 mm90 mm12 mm等边角钢截面,三、惯性矩、极惯性矩、惯性积,惯性矩,O,x,y,dA,x,y,h,b,x,y,dy,y,x1,例如，矩形截面,极惯性矩,三、惯性矩、极惯性矩、惯性积,惯性积,例如，矩形截面的
3、极惯性矩,又如，圆形截面的惯性矩,(x,y),(-x,y),若截面有一对称轴，则该截面对于该对称轴和另一与之垂直轴的惯性积为零,组合截面,h,b,x,y,d,例如，图示截面,四、平行移轴公式,O,x,y,x,y,C,a,b,xC,yC,坐标转换,惯性矩,由于,h,b,x,x1,例如矩形截面,四、平行移轴公式,示例：T型截面。求形心轴惯性矩,150,30,150,30,A1,A2,1、求形心位置,y,z,yC,zC,zC1,45,zC2,45,2、求惯性矩,示例： 图示组合截面由一个25c号槽钢截面和两个90 mm90 mm12 mm等边角钢截面组成。试求此截面分别对于形心轴x和y的惯性矩Ix
4、和 Iy 。,四、平行移轴公式,25c号槽钢截面,90 mm90 mm12 mm等边角钢截面,槽钢截面对x轴和y轴的惯性矩为,四、平行移轴公式,角钢截面对x轴和y轴的惯性矩为,于是有组合截面对x轴和y轴的惯性矩：,材料力学讲稿（六）第七章 弯曲应力,一、纯弯曲下的应力 二、横力弯曲时的正应力 三、梁的弯曲强度计算 四、梁的切应力 五、提高弯曲强度的措施,一、纯弯曲下的应力,实验研究,P,P,a,a,Pa,纵向线由直线变为弧线，上部纵向线压缩，上部纵向线拉伸； 梁变形后横向线仍为直线，且仍与纵向线垂直。,平截面假设：截面变形后仍为平面，且仍与梁轴线垂直,y,z,Z为中性轴：该层纤维既不伸长也不缩
5、短,一、纯弯曲下的应力,几何关系,dx,d,y,定义,为曲率,即梁在纯弯曲时，其横截面上任一点处的纵向线应变e与该点至中性轴的距离 y 成正比。,y,z,y,一、纯弯曲下的应力,物理关系,处在y位置纤维层的正应力与坐标y成正比,z,x,y,X方向力的平衡,静力关系,为截面对于z轴的静矩或一次矩。,横截面对于中性轴 z 的静矩等于零， ；显然这是要求中性轴 z 通过横截面的形心；,一、纯弯曲下的应力,z,x,y,可以证明，其他平衡关系均自动满足,对z轴力矩的平衡,正应力分布公式,上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，梁的横截面上的弯矩M 不随截面位置变化，故知对于等截面的直梁包含在
6、中性层内的那根轴线将弯成圆弧。,二、横力弯曲时的正应力,横力弯曲的变形特征,B,A,dx,x,剪切变形,dv,dx,Q,Q,M,M,dx,d,弯曲变形,剪切变形与剪力成正比，弯曲变形与弯矩成正比。,二、横力弯曲时的正应力,横力弯曲的正应力分布公式,对细长杆（l/h)5，剪切变形远比弯曲变形小,剪切变形可以忽略,对短粗杆（l/h)5，剪切变形不能忽略。,对细长杆,最大正应力计算,在总荷载不变的情况下，弯矩随跨度成线性增加，而剪力不随跨度增加。,式中，Wz为截面的几何性质，称为抗弯截面模量，其单位为m3。,中性轴 z 为横截面对称轴的梁 其横截面上最大拉应力和最大压应力的值相等；,二、横力弯曲时的
7、正应力,中性轴 z 不是横截面对称轴的梁 ，其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相等。,矩形截面,圆形截面,例题 图a所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化后的尺寸见图b。已知F=150 kN。试求危险截面上的最大正应力和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处(图b)的正应力。,由型钢规格表查得56a号工字钢截面,危险截面上点a 处的正应力为,三、梁的弯曲强度计算,抗弯强度条件,拉压性质相同的材料,示例3-1：简支梁受均布荷载。=10MPa。校核强度。,2kN/m,4m,210mm,140mm,z,y,M图,4kNm,许可荷载,三、梁的弯曲强度计算,示例3-2：简支梁受集中荷载。=170M
8、Pa。选择工字钢型号。,B,A,15kN,C,2m,21kN,RA,RB,2m,2m,D,作弯矩图,选择截面,34kNm,38kNm,选择20a，Wz=237cm3。,如果选择的Wz略小，则要校核应力值。若工作应力不大于许用应力5%，在工程上是允许的。,如选择槽钢，则为两个16。 Wz=2117=234cm3。,三、梁的弯曲强度计算,拉压性质不相同的材料,抗弯强度条件,最大拉应力,最大压应力,计算步骤 作弯矩图，求最大弯矩； 计算惯性矩或截面抗弯模量； 强度计算。,示例3-3：悬臂梁受均布荷载。,q,1.42m,截面为圆环，D=90mm，d=60mm, =140MPa。求许可荷载。,M图,-,
9、ql2/2,三、梁的弯曲强度计算,示例3-4：外伸梁受集中荷载。校核强度。,t=30MPa， c=60MPa。 Iz=0.57310-5m4，y1=0.072m，y2=0.038m。,B,A,24kN,C,0.2m,9kN,RA,RB,0.3m,0.3m,D,2.7kNm,1.8kNm,z,y,y2,y1,作弯矩图,C截面,B截面,强度校核,四、梁的切应力,矩形截面梁的切应力,dx,y,z,M+dM,M,Q,Q,+d,y,z,h,b,y,切应力分布公式,max,最大切应力在中性轴位置,四、梁的切应力,其他截面梁的切应力,1、工字型、,max,b,2、圆形,z,y,B,A,b,4、薄壁圆环,3、
10、薄壁箱型,与工字型相似,五、提高弯曲强度的措施,降低Mmax值,1、改变荷载的位置和作用方式,B,A,P,l/2,Pl/4,l/2,B,A,P,l/4,3Pl/16,3l/4,B,A,P,l/4,Pl/8,l/4,B,A,l,P/l,Pl/8,五、提高弯曲强度的措施,2、改变支座的位置,a=l/5,l/5,q,0.02,0.02,0.025,B,A,l/2,l/2,3、增加支座,q,0.047,0.008,0.008,B,A,l,q,0.093,0.093,0.047,五、提高弯曲强度的措施,提高Wz值,矩形截面,方形截面,圆形截面,按面积相等，有,面积分布离中性轴越远，Wz越大。 故工字形截
11、面为最好。,由四根100 mm80 mm10 mm不等边角钢按四种不同方式焊成的梁。,图a,图b,图c,图d,材料力学讲稿（七）第八章 弯曲变形,一、概述 二、挠曲线近似微分方程 积分法 三、叠加法,一、概述,计算弯曲变形的目的,刚度计算 静不定梁的计算 动力荷载的计算,位移和转角,P,y,y称为挠度 y=y(x)称为挠度方程,称为转角 = (x)称为转角方程,B,A,h,mg,d,B,A,mg,s,二、挠曲线近似微分方程 积分法,曲率与弯矩的关系为,曲率与挠曲线的关系为,于是,y,x,M,M0,y”0,y,x,M,M0,y”0,挠曲线近似微分方程为,挠曲线近似微分方程,积分法,C、D为积分待
12、定常数，由梁的位移支座条件确定,曲率符号始终与弯矩符号相反,二、挠曲线近似微分方程 积分法,示例2-1：悬臂梁受集中力,P,x,l,P,Q(x),M(x),弯矩方程,挠曲线方程,由位移边界条件,最大转角和位移为,二、挠曲线近似微分方程 积分法,示例2-2：简支梁受均布荷载,弯矩方程,挠曲线方程,由位移边界条件,最大转角和位移为,q,l,x,Q(x),M(x),三、叠加法,基本结果,P,ymax,max,ymax,max,ymax,max,q,q,ymax,max,P,l/2,口诀： 38485384，261624,三、叠加法,基本结果,ymax,max,m,max,m,基本原理,物理线性,几何线性,故梁的变形有,ymax,max,q,P,l/2,三、叠加法,荷载叠加,B,A,l/2,q,B,A,l,q/2,ymax,B,A,l/2,q/2,q/2,yl/2,刚性位移,A,A1,q,q,l/2,A2,q,l/2,yA,yA1,yA2,B2,yB2,三、叠加法,力的平移,B,A,a,P,l,C,B,yC1,yC2,
