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1、第二章 解析函数,1 解析函数的概念,2 函数解析的充要条件,3 初等函数,1 解析函数的概念,1.1 复变函数的导数与微分,注 z0 + z 趋于 z0 的方式是任意的.,存在，则称 f (z) 在点 z0 可导，此极限称为 f (z)在 点 z0 的导数，记作,导数 设函数 w=f (z)在区域 D 内有定义，z0 为 D 内一点，且 z0 + z 也属于 D. 若极限,2,3,若函数 f (z) 在区域 D 内处处可导，则称 f (z) 在 D 内可导.,可导的性质 1）可导必连续； 2）复变函数的求导法则可以由实函数的求导 法则平行推得.,4,设函数 w =f (z) 在 z0可导,
2、则有,5,1.2 解析函数及其简单性质,解析函数 若函数 w= f(z) 在点 z0 的邻域内处处 可导，则称 f(z) 在点 z0 解析. 若函数 w= f(z) 在区域 D 内处处可微，则称 f(z) 在 D 内解析，或称 f(z) 为 D 内的一个解析函数 （或称正则函数、全纯函数）.,奇点 若函数 f(z) 在点 z0 不解析，则称 z0 为 f(z) 的奇点.,注 f(z) 在区域 D 内（处处）解析和在 D 内（处 处）可导是等价的；但 f(z) 在某点处解析比在某 点可导要强得多.,6,区域 D 内解析函数的性质 （1）两个解析函数的和差积商（除去分母为0 的点）仍解析，且满足数
3、分中类似的求导法则； （2）两个解析函数的复合函数在其定义域内仍 解析，且满足复合函数的求导法则：,例,7,柯西-黎曼方程（C.-R.方程）,1.3 函数解析的充要条件,8,f(z) 在点,的导数公式,9,推论2.1（可微的充分条件）设函数,在区域 D 内有定义，则 f(z) 在 D 内一点 可微的充分条件是,例 判断下列函数的解析性.,例 设函数,10,3 初等函数,3.1 指数函数,复指数函数的性质：,数的定义是一致的；,11,12,12,3.2 对数函数,方程 的所有根为,在(1)式中，对每一个固定的 k，它都是一个单 值函数，称为 的一个分支.,13,注 正实数的复对数也是无穷多值的； 在复数域内，负数无实对数.,对数函数的基本性质,注,不成立！,14,对数函数的解析性,在除去原点和负实轴的平面内解析，且有,在除去原点和负实轴的平面内解析.,15,3.3 幂函数,16,它的各个分支在除去原点和负实轴的平面内解析， 且有,17,3.4 三角函数与双曲函数,正弦函数,余弦函数,18,19,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,双曲正弦,双曲余弦,双曲正切,20,3.5 反三角函数和反双曲函数,反正切函数,反正弦函数,反余弦函数,
