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1、1 第四节第四节二次函数的再研究与幂函数二次函数的再研究与幂函数 考纲传真1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数 yx，yx2，yx3，y ，yx的图像，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图像 1 x 和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题 1二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x)ax2bxc(a0)； 顶点式：f (x)a(xh)2k(a0)，顶点坐标为(h，k)； 零点式：f (x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f (x)的零点 (2)二次函数的图像与性质 函数yax2bxc(a0)yax2bxc(a0) 图像 定义域 R R
2、值域 4acb2 4a ，) (， 4acb2 4a 单调性 在上减， (， b 2a 在上增 b 2a，) 在上增， (， b 2a 在上减 b 2a，) 对称性 函数的图像关于x对称 b 2a 2.幂函数 (1)定义：如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量，即yx，这样的函数称 为幂函数 (2)五种常见幂函数的图像与性质 yxyx2yx3 yx 1 2 yx1 2 图像 定义域 R RR RR Rx|x0 x|x0 值域 R Ry|y0R Ry|y0y|y0 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇 单调性增 (，0)减， (0，)增 增增 (，0)和 (0，)减 公共点 (1,1) 1(思考辨析)判断下
3、列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)二次函数yax2bxc，xR R，不可能是偶函数() (2)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.() 4acb2 4a (3)幂函数的图像一定经过点(1,1)和点(0,0)() (4)当n0 时，幂函数yxn在(0，)上是增函数() 答案(1)(2)(3)(4) 2(教材改编)已知幂函数f (x)x的图像过点(4,2)，若f (m)3，则实数m的值 为() A.B 33 C D9 9 D D由题意可知 4222，所以 . 1 2 所以f (x)x， 1 2x 故f (m)3m9. m 3已知函数f (x)ax2x5 的图像在x轴上方
4、，则a的取值范围是() 【导学号：66482042】 A. B (0， 1 20) (， 1 20) C. D ( 1 20，) ( 1 20，0) C C由题意知Error!即Error!得a. 1 20 4(2017贵阳适应性考试(二)二次函数f (x)2x2bx3(bR R)零点的个数是() 3 【导学号：66482043】 A0B1 C2D4 C C因为判别式b2240，所以原二次函数有 2 个零点，故选 C. 5若二次函数yax2bxc的图像与x轴交于A(2,0)，B(4,0)且函数的最大值 为 9，则这个二次函数的表达式是_. 【导学号：66482044】 yx22x8设ya(x2
5、)(x4)，对称轴为x1， 当x1 时，ymax9a9，a1， y(x2)(x4)x22x8. 求二次函数的解析式 已知二次函数f (x)满足f (2)1，f (1)1，且f (x)的最 大值是 8，试确定此二次函数的解析式 解法一(利用一般式)： 设f (x)ax2bxc(a0). 2 分 由题意得Error!8 分 解得Error! 所求二次函数为f (x)4x24x7. 12 分 法二(利用顶点式)： 设f (x)a(xm)2n. f (2)f (1)， 抛物线的图像的对称轴为x . 3 分 21 2 1 2 m .又根据题意函数有最大值 8，n8. 1 2 yf (x)a 28. 8
6、分 (x 1 2) f (2)1，a 281，解得a4， (2 1 2) f (x)4 284x24x7. 12 分 (x 1 2) 4 法三(利用零点式)： 由已知f (x)10 的两根为x12，x21，2 分 故可设f (x)1a(x2)(x1)， 即f (x)ax2ax2a1. 6 分 又函数的最大值是 8，即8， 4a2a1a2 4a 解得a4， 所求函数的解析式为f (x)4x24x7. 12 分 规律方法用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的 形式，选法如下 变式训练 1已知二次函数f (x)的图像经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为 2，并且对任意x
7、R R，都有f (2x)f (2x)，求f (x)的解析式 解f (2x)f (2x)对xR R 恒成立， f (x)的对称轴为x2. 2 分 又f (x)的图像被x轴截得的线段长为 2， f (x)0 的两根为 1 和 3. 6 分 设f (x)的解析式为f (x)a(x1)(x3)(a0) 又f (x)的图像过点(4,3)， 3a3，a1. 10 分 所求f (x)的解析式为f (x)(x1)(x3)， 即f (x)x24x3. 12 分 二次函数的图像与性质 角度 1二次函数图像的识别及应用 (1)设abc0，则二次函数f (x)ax2bxc的图像可能是() A BCD (2)已知函数f
8、 (x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f (x)0 成立，则 5 实数m的取值范围是_ (1)D D(2)(1)由 A，C，D 知，f (0)c0. ( 2 2 ，0) abc0，ab0，对称轴x0，知 A，C 错误，D 符合要求由 B 知f (0) b 2a c0，ab0，x0，B 错误 b 2a (2)作出二次函数f (x)的图像，对于任意xm，m1，都有f (x)0，则有Error! 即Error!解得m0. 2 2 角度 2二次函数的最值问题 (1)(2017广西一模)若xlog521，则函数f (x) 4x2x13 的最小值为() 【导学号：66482045】 A4B3 C1
9、D0 (2)(2017安徽皖北第一次联考)已知函数f (x)x22ax1a在区间0,1上的 最大值为 2，则a的值为() A2 B1 或3 C2 或3 D1 或 2 (1)A A(2 2)D D(1)xlog521log52xlog5512x ， 1 5 令t2x，则有yt22t3(t1)24， (t 1 5) 当t1 ，即x0 时，f (x)取得最小值4.故选 A. 1 5 (2)函数f (x)(xa)2a2a1 图像的对称轴为xa，且开口向下，分三种情 况讨论如下： 当a0 时，函数f (x)x22ax1a在区间0,1上是减函数， f (x)maxf (0)1a，由 1a2，得a1. 当
10、0a1 时，函数f (x)x22ax1a在区间0，a上是增函数，在a,1 上是减函数， f (x)maxf (a)a22a21aa2a1， 6 由a2a12，解得a或a.0a1，两个值都不满足，舍去 1 5 2 1 5 2 当a1 时，函数f (x)x22ax1a在区间0,1上是增函数， f (x)maxf (1)12a1a2，a2. 综上可知，a1 或a2. 角度 3二次函数中的恒成立问题 已知a是实数，函数f (x)2ax22x3 在x1,1上恒小于零，则实 数a的取值范围为_ 由题意知 2ax22x30 在1,1上恒成立 (， 1 2) 当x0 时，适合； 当x0 时，a 2 . 3 2
11、( 1 x 1 3) 1 6 因为 (，11，)，当x1 时，右边取最小值 ，所以a . 1 x 1 2 1 2 综上，实数a的取值范围是. (， 1 2) 规律方法1.二次函数最值问题应抓住“三点一轴”数形结合求解，三点是指区间 两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，用函数的单调性及分类讨论的思想即 可完成 2由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其 依据是af (x)af (x)max，af (x)af (x)min. 幂函数的图像与性质 (1)幂函数yf (x)的图像过点(4,2)，则幂函数yf (x)的图像是() ABCD (2)已知幂函数f (
12、x)xm22m3(mN N*)的图像关于y轴对称，且在(0，)上是 减函数，则m的值为_ (1)C C(2)1(1)令f (x)x，则 42， ， 1 2 f (x)x. 1 2 7 (2)f (x)在(0，)上是减函数， m22m30，解得1m3. 又mN N*，m1 或m2. 由于f (x)的图像关于y轴对称 m22m3 的值应为偶数， 又当m2 时，m22m3 为奇数， m2 舍去因此m1. 规律方法1.幂函数的形式是yx(R R)，其中只有一个参数，因此只需一 个条件即可确定其解析式 2若幂函数yx(R R)是偶函数，则必为偶数当是分数时，一般将其先 化为根式，再判断 3若幂函数yx在
13、(0，)上递增，则0，若在(0，)上递减，则0. 变式训练 2(1)设a0.5 ，b0.9 ，clog50.3，则a，b，c的大小关系是() 1 2 1 4 【导学号：66482046】 AacbBcab Cabc Dbac (2)若(a1) (32a) ，则实数a的取值范围是_ 1 2 1 2 (1)D D(2)(1)a0.5 0.25 ，b0.9 ，所以根据幂函数的性质知 1， 2 3) 1 2 1 4 1 4 ba0，而clog50.30，所以bac. (2)易知函数yx的定义域为0，)，在定义域内为增函数，所以Error!解得 1 2 1a . 2 3 思想与方法 1二次函数的三种形式
14、的选法 (1)已知三个点的坐标时，宜用一般式 (2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点 式 (3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x)更方便 2研究二次函数的性质要注意 8 (1)结合图像分析； (2)含参数的二次函数，要进行分类讨论 3利用幂函数的单调性比较幂值大小的方法 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数， 借助其单调性进行比较 4幂函数yx(R R)图像的特征 0 时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升； 0 时，图像不过原点，在第一象限的图像下降，反之也成立 易错与防范 1对于函数yax2bxc，若是二次函数，就隐含着a0，当题目条件中未说明 a0 时，就要分a0，a0 两种情况讨论 2幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现 在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多能同时出现在两个象限内；如 果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点
