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1、【2019最新】精选高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6讲双曲线学案板块一知识梳理自主学习必备知识考点1双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|2c0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a、c为常数且a0，c0：(1)当ac时，P点不存在考点2双曲线的标准方程和几何性质 必会结论双曲线中的几个常用结论(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线(3)双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率e双曲线的两条渐近
2、线互相垂直(位置关系)(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.(5)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的ABF2的周长为4a2|AB|.(6)双曲线的离心率公式可表示为e.考点自测 1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到两点F1(1,0)，F2(1,0)的距离之差等于1的点的轨迹是双曲线()(2)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)与双曲线1(mn0)共渐近线的双曲线方程可设为(0)()(4)等轴双曲线的离心率等于，且渐近线互相垂直()(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则
3、1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)()答案(1)(2)(3)(4)(5)2课本改编双曲线y2x22的渐近线方程是()Ayx ByxCyx Dy2x答案A解析由题意知1，yx.32018广东模拟已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析由题意设C的方程为1(a0，b0)由右焦点为F(3,0)，可知c3，又因为离心率等于，所以，所以a2.由c2a2b2，知b25，故双曲线C的方程为1.故选B.42018福州质检设F1、F2分别是双曲线x21的左、右焦点若点P在双曲线上，且|PF1|5，则|PF2|()A5 B3 C7 D3或
4、7答案D解析|PF1|PF2|2，|PF2|7或3.52017北京高考若双曲线x21的离心率为，则实数m_.答案2解析由双曲线的标准方程知a1，b2m，c，故双曲线的离心率e，1m3，解得m2.62017全国卷双曲线1(a0)的一条渐近线方程为yx，则a_.答案5解析双曲线的标准方程为1(a0)，双曲线的渐近线方程为yx.又双曲线的一条渐近线方程为yx，a5.板块二典例探究考向突破考向双曲线的定义及标准方程 例1(1)2017天津高考已知双曲线1(a0，b0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A.1 B.1 C.1 D.1答案
5、B解析由题意可得，即ca.又左焦点F(c,0)，P(0,4)，则直线PF的方程为，化简即得yx4.结合已知条件和图象易知直线PF与yx平行，则，即4abc.故解得故双曲线方程为1.故选B.(2)2017全国卷已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析由yx可得.由椭圆1的焦点为(3,0)，(3,0)，可得a2b29.由可得a24，b25.所以C的方程为1.故选B.触类旁通(1)若涉及双曲线上的点，在解题时要首先想到双曲线上的任意点均满足双曲线的定义(2)利用求待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方
6、程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值与双曲线1，有相同渐近线时可设所求双曲线方程为(0)【变式训练1】(1)已知双曲线C：1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析由已知可得双曲线的焦距2c10，a2b225，排除C，D，又由渐近线方程为yxx，得，解得a220，b25.(2)求与双曲线1有共同渐近线，并且经过点(3,2)的双曲线的方程解设所求双曲线方程为，将点(3,2)代入双曲线方程，得，解得，所求双曲线方程为1.考向双曲线的几何性质命题角度1双曲线的离心率问题 例2(1)2017全国卷若a1，
7、则双曲线y21的离心率的取值范围是()A(，) B(，2)C(1，) D(1,2)答案C解析由题意得双曲线的离心率e.e21.a1，01，112，1e0，b0)若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_答案2解析由已知得|AB|CD|，|BC|AD|F1F2|2c.因为2|AB|3|BC|，所以6c，又b2c2a2，所以2e23e20，解得e2，或e(舍去)命题角度2双曲线的渐近线问题 例3(1)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx答案C解析e，即.c2a2b2，.双曲线的渐近
8、线方程为yx，渐近线方程为yx.故选C.(2)2018深圳调研在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x2y0，则它的离心率为()A. B. C. D2答案A解析依题意设双曲线的方程是1(其中a0，b0)，则其渐近线方程是yx，由题知，即b2a，因此其离心率e.触类旁通与双曲线的几何性质有关的问题(1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线1(a0，b0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k满足关系式e21k2.(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2c2a2和e转化为关于e的方
9、程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围【变式训练2】(1)若双曲线C：1的焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点为M，且sinMF1F2，则双曲线的离心率为()A. B. C2 D.答案D解析由题意知，F1MF2，不妨设点M在第一象限，则解得又|MF1|2|MF2|2|F1F2|2，即16a24a24c2，所以e.故选D.(2)已知双曲线1的两条渐近线与以椭圆1的左焦点为圆心、为半径的圆相切，则渐近线方程为_答案4x3y0解析双曲线的渐近线方程为ax3y0，椭圆的左焦点为F(4,0)，因为渐近线ax3y0与以F为圆心、为半径的圆相切，所以，解得a4，故渐近
10、线方程为4x3y0.考向双曲线中焦点三角形 例4(1)已知F1，F2是双曲线y21的两个焦点，P是双曲线上一点，且F1PF290，则F1PF2的面积是()A1 B. C2 D.答案A解析解法一：设|PF1|d1，|PF2|d2，由双曲线的定义可知|d1d2|4.又F1PF290，于是有dd|F1F2|220，因此，SF1PF2d1d2(dd|d1d2|2)1.解法二：由y21，知|F1F2|2.设P点的纵坐标为yP，由于F1PF290，则P在以|F1F2|为直径的圆上，即在x2y25上由消去x得|yP|.故F1PF2的面积S|F1F2|yP|1.(2)已知F1，F2为双曲线C：x2y21的左、
11、右焦点，P点在C上，F1PF260，则P到x轴的距离为()A. B. C. D.答案B解析设|PF1|m，|PF2|n，不妨设mn，P(x，y)，|PF1|PF2|mn2.在F1PF2中，由余弦定理得(2)2m2n22mncos60，8(mn)2mn.mn4.由F1PF2的面积相等，得 2|y|mnsin60，即|y|4.|y|.即P到x轴的距离为.触类旁通【变式训练3】(1)2018哈尔滨质检已知双曲线x21的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点若|PF1|PF2|，则F1PF2的面积为()A48 B24 C12 D6答案B解析由双曲线的定义可得|PF1|PF2|PF2|2a2，解得|
12、PF2|6，故|PF1|8，又|F1F2|10，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此SPF1F2|PF1|PF2|24.(2)2016全国卷已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1,3) B(1，) C(0,3) D(0，)答案A解析解法一：由题意可知：c2(m2n)(3m2n)4m2，其中c为半焦距，2c22|m|4，|m|1.方程1表示双曲线，(m2n)(3m2n)0，m2n3m2，1n0，b0)交于A，B两点，且|AB|，又l关于直线l1：yx对称的直线l2与x轴平行(1)求双曲线C的离心率e；(2)求双曲线C的方程解(1)设双曲线C：1过
