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1、第二节等差数列2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系。2016，全国卷，3,5分(等差数列基本量的计算)2016，全国卷，17,12分(等差数列通项公式、求和)2016，北京卷，12,5分(等差数列的基本量计算)2016，浙江卷，6,5分(等差数列的创新应用)1.以考查等差数列的通项、前n项和及性质为主，等差数列的证明也是考查的热点；2.题型主要以选择题、填空题的形式考查等差数列的基本运算与简单性质。解答题往
2、往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查。微知识小题练自|主|排|查1等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为anan1d(常数)(nN*，n2)或an1and(常数)(nN*)。(2)等差中项若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A。2等差数列的有关公式(1)等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d。(2)等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项
3、和Snna1d或Sn。3等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)。(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman。(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d。(4)若an，bn是等差数列，公差为d，则panqbn也是等差数列。(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列。(6)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列。(7)S2n1(2n1)an。(8)若n为偶数，则S偶S奇；若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)。微点提醒1用等差数列的定义判断数列是
4、否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”。2等差数列的前n项和公式有两种表达形式，要根据题目给出的条件判断使用哪一种表达形式。3等差数列与函数的关系：(1)通项公式：当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d。若公差d0，则为递增数列，若公差d0，a7a100，所以a80。又a7a10a8a90，所以a90。故当n8时，其前n项和最大。【答案】8微考点大课堂考点一 等差数列的基本运算【典例1】(2016广州联考)已知等差数列an的前n项和为Sn，且a3a64，S55。(1)求数列an的通项
5、公式；(2)若Tn|a1|a2|a3|an|，求T5的值和Tn的表达式。【解析】(1)设等差数列an的公差为d，由题意知，解得，故an2n7(nN*)。(2)由an2n70，得n，即n3，所以当n3时，an2n70。易知Snn26n，S39，S55，所以T5(a1a2a3)a4a5S3(S5S3)S52S313。当n3时，TnSn6nn2；当n4时，TnS3(SnS3)Sn2S3n26n18。故Tn【答案】(1)an2n7(nN*)(2)T513Tn反思归纳1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解。2等差数列的通项公式及前n项和公式
6、共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，已知其中三个就能求出另外两个，体现了用方程组解决问题的思想。【变式训练】(1)(2016北京高考)已知an为等差数列，Sn为其前n项和。若a16，a3a50，则S6_。(2)(2016江苏高考)已知an是等差数列，Sn是其前n项和。若a1a3，S510，则a9的值是_。【解析】(1)设等差数列an的公差为d，由已知得解得所以S66a165d3615(2)6。(2)设等差数列an的公差为d，则a1aa1(a1d)23，S55a110d10，解得a14，d3，则a9a18d42420。【答案】(1)6(2)20考点二 等差数列的判定与证明【典例2】(2017兰
7、州模拟)已知数列an中，a1，an2(n2，nN*)，数列bn满足bn(nN*)。(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an中的通项公式an。【解析】(1)证明：因为an2(n2，nN*)，bn。所以n2时，bnbn11。又b1，所以数列bn是以为首项，1为公差的等差数列。(2)由(1)知，bnn，则an11。【答案】(1)数列bn是以为首项，1为公差的等差数列(2)an1反思归纳等差数列的四种判断方法：(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列。(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列。(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列。(4)前n项
8、和公式：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列。【变式训练】已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn(nN*)。(1)求证：数列an是等差数列；(2)设bn，Tnb1b2bn，求Tn。【解析】(1)证明：Sn(nN*)，Sn1(n2)。得an(n2)，整理得(anan1)(anan1)anan1(n2)。数列an的各项均为正数，anan10，anan11(n2)。当n1时，a11，数列an是首项为1、公差为1的等差数列。(2)由(1)得Sn，bn2，Tn22。【答案】(1)见解析(2)Tn考点三 等差数列的性质及应用【典例3】(1)(2015全国卷)设Sn是等差数列an的前n项
9、和，若a1a3a53，则S5()A5B7C9D11(2)设等差数列an的前n项和为Sn，且S312，S945，则S12_。(3)已知an，bn都是等差数列，若a1b109，a3b815，则a5b6_。【解析】(1)解法一：a1a52a3，a1a3a53a33，a31，S55a35。故选A。解法二：a1a3a5a1(a12d)(a14d)3a16d3，a12d1，S55a1d5(a12d)5。故选A。(2)因为an是等差数列，所以S3，S6S3，S9S6，S12S9成等差数列，所以2(S6S3)S3(S9S6)，即2(S612)12(45S6)，解得S63；又2(S9S6)(S6S3)(S12S
10、9)，即2(453)(312)(S1245)，解得S12114。(3)因为an，bn都是等差数列，所以2a3a1a5,2b8b10b6，所以2(a3b8)(a1b10)(a5b6)，即2159(a5b6)，解得a5b621。【答案】(1)A(2)114(3)21反思归纳在等差数列an中，数列Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列；也是等差数列。等差数列的性质是解题的重要工具。【变式训练】(1)(2016银川模拟)已知an是等差数列，a415，S555，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为()A4B.C4D(2)已知等差数列an的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为()A10 B20 C30 D40【解析】(1)S55a355，a311，k4。故选C。(2)设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即25152n，故2n10，即数列的项数为10。故选A。【答案】(1)C(2)A考点四 等差数列前n项和的最值问题母题发散【典例4】在等差数列an
