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1、【2019最新】精选高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2-4二次函数与幂函数教师用书1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，)上单调递增；当0，当时，恒有f(x)0.2幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性(2)幂函数的图象过定点(
2、1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(2)二次函数yax2bxc，xR不可能是偶函数()(3)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小()(4)函数y2x是幂函数()(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点()(6)当n0时，幂函数yxn是定义域上的减函数()1(教材改编)已知函数f(x)x24ax在区间(，6)内单调递减，则a的取值范围是()Aa3 Ba3Ca3 Da3答案D解析函数f(x)x24ax的图象是
3、开口向上的抛物线，其对称轴是x2a，由函数在区间(，6)内单调递减可知，区间(，6)应在直线x2a的左侧，2a6，解得a3，故选D.2幂函数yf(x)的图象过点(4,2)，则幂函数yf(x)的图象是()答案C解析设f(x)x，则42，f(x)x，对照各选项中的图象可知C正确3已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为_答案1,2解析如图，由图象可知m的取值范围是1,24(教材改编)已知幂函数yf(x)的图象过点，则此函数的解析式为_；在区间_上单调递减答案 (0，)解析设f(x)xa，则2a，a，即幂函数的解析式为y，单调减区间为(0，).题型一求二次函数的解析
4、式例1(1)(2016太原模拟)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(2,0)且有最小值1，则f(x)_.答案x22x解析设函数的解析式为f(x)ax(x2)，所以f(x)ax22ax，由1，得a1，所以f(x)x22x.(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，求f(x)的解析式解f(2x)f(2x)对任意xR恒成立，f(x)的对称轴为x2.又f(x)的图象被x轴截得的线段长为2.f(x)0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)，又f(x)的图象过点(4,3)，3a
5、3，a1，所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.思维升华求二次函数解析式的方法(1)已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR)，xR，若函数f(x)的最小值为f(1)0，则f(x)_.(2)若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_.答案(1)x22x1(2)2x24解析(1)设函数f(x)的解析式为f(x)a(x1)2ax22axa，由已知f(x)ax2bx1，a1，故f(x)x22x1.(2)由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，a()，即b2，f(x)2x22a2，又f(x)的值域为
6、(，4，2a24，故f(x)2x24.题型二二次函数的图象和性质命题点1二次函数的单调性例2函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减的，则实数a的取值范围是()A3,0) B(，3C2,0 D3,0答案D解析当a0时，f(x)3x1在1，)上递减，满足条件当a0时，f(x)的对称轴为x，由f(x)在1，)上递减知解得3a0.综上，a的取值范围为3,0引申探究若函数f(x)ax2(a3)x1的单调减区间是1，)，则a_.答案3解析由题意知a0，又1，a3.命题点2二次函数的最值例3(2016嘉兴教学测试)已知mR，函数f(x)x2(32m)x2m.(1)若00，g(m)4m.(2)函数
7、的对称轴为x，且函数开口向下0，即m(舍去)；0m，即m1，h(m)f()m22m；m，即02xm恒成立，则实数m的取值范围是_(2)已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，则实数a的取值范围为_答案(1)(，1)(2)解析(1)f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，令g(x)x23x1m，要使g(x)x23x1m0在1,1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上单调递减，g(x)ming(1)m1.由m10，得m1.因此满足条件的实数m的取值范围是(，1)(2)2ax22x30在1,1上恒成立当x
8、0时，30，成立；当x0时，a2，因为(，11，)，当x1时，右边取最小值，所以a.综上，实数a的取值范围是 .思维升华(1)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离这两个思路的依据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.(1)设函数f(x)ax22x2，对于满足1x0，则实数a的取值范围
9、为_答案解析由题意得a对1x4恒成立，又22，.(2)已知函数f(x)x22x，若x2，a，求f(x)的最小值解函数f(x)x22x(x1)21，对称轴为直线x1，x1不一定在区间2，a内，应进行讨论，当21时，函数在2,1上单调递减，在1，a上单调递增，则当x1时，f(x)取得最小值，即f(x)min1.综上，当21时，f(x)min1.题型三幂函数的图象和性质例5(1)(2017丽水诊断测试)已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k等于()A. B1 C. D2(2)若(2m1)(m2m1)，则实数m的取值范围是()A. B.C(1,2) D.答案(1)C(2)D解析(1)由幂函数的定义知k
10、1.又f，所以，解得，从而k.(2)因为函数yx的定义域为0，)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于解2m10，得m；解m2m10，得m或m；解2m1m2m1，得1m2.综上所述，m的取值范围是m2.思维升华(1)幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴(2016绍兴模拟)幂函数的图象经过点(4,2)，若0ab1，则下列各式正确的是()Af(a)f(b)f()f()Bf()f()f(b)f(a)Cf(a)f(b)f()f()Df()f(a)f()f(b)答案C解析设幂函数为f(x)x，将(4,2)代入得，所以f(x)，该函数在(0，)上为增函数，又0ab1，即ab，所以f(a)f(b)f()f()3分类讨论思想在二次函数最值中的应用典例(14分)已知函数f(x)ax22ax1在区间1,2上有最大值4，求实数a的值思想方法指导已知函数f(x)的最值，而f(x)图象的对称轴确定，要讨论a的符号规范解答解f(x)a(x1)21a.1分(1)当a0时，函数f(x)在区间1,2上的值为常数1，不符合题意，舍去； 5分(
