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1、1 第三节第三节等比数列等比数列 考纲传真1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3. 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比 数列与指数函数的关系 1等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为 零)，那么这个数列就叫作等比数列这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示， 定义的表达式为q(nN N*，q为非零常数) an1 an (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项即G是a 与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab. 2等比数列
2、的有关公式 (1)通项公式：ana1qn1. (2)前n项和公式：SnError! 3等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN N*) (2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN N*)，则amanapaqa； 2k (3)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an，a，anbn， 1 an2n (0)仍然是等比数列； an bn (4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk. 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)满足an1qan(nN N*，q为常数)
3、的数列an为等比数列() (2)G为a，b的等比中项G2ab.() (3)若an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列() (4)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.() a1an 1a 2 答案(1)(2)(3)(4) 2(2017广州综合测试(二)已知等比数列an的公比为 ，则的值是() 1 2 a1a3a5 a2a4a6 A2B 1 2 C. D2 1 2 A A2. a1a3a5 a2a4a6 a1a3a5 1 2a1a3a5 3(2017东北三省四市一联)等比数列an中，an0，a1a26，a38，则a6() 【导学号：66482249】 A64 B12
4、8 C256 D512 A A设等比数列的首项为a1，公比为q，则由Error!解得Error!或Error!(舍去)，所以 a6a1q564，故选 A. 4(教材改编)在 9 与 243 中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个 数为_ 27,81设该数列的公比为q，由题意知， 2439q3，q327，q3. 插入的两个数分别为 9327,27381. 5(2015全国卷)在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和若 Sn126，则n_. 6a12，an12an， 数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列 又Sn126，126，解得n6. 212n 12 等比数
5、列的基本运算 (1)(2017陕西质检(二)已知等比数列an的前n项和为Sn.若 S3a210a1，a59，则a1() 3 A. B 1 3 1 3 C. D 1 9 1 9 (2)已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于 _ (1 1)C C(2)2n1(1)设等比数列的公比为q，则由S3a210a1得a1a1q210a1， 则q29，又因为a5a1q49，所以a1 . 1 9 (2)设等比数列的公比为q，则有Error! 解得Error!或Error! 又an为递增数列，Error!Sn2n1. 12n 12 规律方法1.等比数列的通项公式与前n项和公
6、式共涉及五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二” ，体现了方程思想的应用 2在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，在运算过 程中，应善于运用整体代换思想简化运算 变式训练 1(1)在等比数列an中，a37，前 3 项和S321，则公比q的值为() 【导学号：66482250】 A1 B 1 2 C1 或 D1 或 1 2 1 2 (2)设等比数列an的前n项和为Sn，若 27a3a60，则_. S6 S3 【导学号：66482251】 (1)C C(2)28(1)根据已知条件得Error! 得3. 1qq2 q2 整理得 2q2q10， 解得q1 或q
7、. 1 2 (2)由题可知an为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3a1q2，a6a1q5，所以 27a1q2a1q5，所以q3，由Sn，得S6，S3， a11qn 1q a1136 13 a1133 13 所以28. S6 S3 a1136 13 13 a1133 4 等比数列的判定与证明 (2016全国卷)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0. (1)证明an是等比数列，并求其通项公式； (2)若S5，求. 31 32 解(1)证明：由题意得a1S11a1，2 分 故1，a1，故a10. 3 分 1 1 由Sn1an，Sn11an1得an1an1an， 即an1(1)an. 5
8、分 由a10，0 得an0，所以. an1 an 1 因此an是首项为，公比为的等比数列， 1 1 1 于是an n1. 7 分 1 1( 1) (2)由(1)得Sn1 n. 9 分 ( 1) 由S5得 1 5 ，即 5 . 10 分 31 32 ( 1) 31 32 ( 1) 1 32 解得1. 12 分 规律方法等比数列的判定方法 (1)定义法：若q(q为非零常数，nN N*)，则an是等比数列 an1 an (2)等比中项法：若数列an中，an0，且aanan2(nN N*)，则数列an是等 2n1 比数列 (3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均是不为 0 的常数，n
9、N N*)， 则an是等比数列 说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于选择题、填空题中的判 定 变式训练 2已知数列an的前n项和为Sn，数列bn中， b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn. (1)设cnan1，求证：cn是等比数列； (2)求数列bn的通项公式 5 解(1)证明：anSnn， an1Sn1n1， 得an1anan11，即 2an1an1， 2(an11)an1，即 2cn1cn. 3 分 由a1S11 得a1 ，c1a11 ， 1 2 1 2 从而cn0， . cn1 cn 1 2 数列cn是以 为首项， 为公比的等比数列. 6 分 1 2 1 2 (
10、2)由(1)知cn n1n，7 分 1 2 ( 1 2) ( 1 2) 又cnan1，ancn11 n，9 分 ( 1 2) 当n2 时， bnanan11 n n. ( 1 2) 1( 1 2)n1 ( 1 2) 又b1a1 ，适合上式，故bn n. 12 分 1 2 ( 1 2) 等比数列的性质及应用 (1)(2016安徽六安一中综合训练)在各项均为正数的等比数列an中，若 am1am12am(m2)，数列an的前n项积为Tn，若T2m1512，则m的值为() A4 B5 C6 D7 (2)(2016天津高考)设an是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q0”是“对 任意的正整数n，a2n
11、1a2n0”的() A充要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 (1 1)B B(2 2)C C(1)由等比数列的性质可知am1am1a2am(m2)，所以am2， 2m 即数列an为常数列，an2，所以T2m122m151229，即 2m19，所以m5，故 选 B. (2)若对任意的正整数n，a2n1a2n0，则a1a20，所以a20，所以 6 q0.若q0，可取q1，a11，则a1a2110，不满足对任意的正整数 a2 a1 n，a2n1a2n0.所以“q0”是“对任意的正整数n，a2n1a2n0”的必要而不充分条 件故选 C. 规律方法1.在解决等比数列的
12、有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特 别是性质“若mnpq，则amanapaq” ，可以减少运算量，提高解题速度 2等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是 前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题 的突破口 变式训练 3(1)(2017合肥三次质检)在正项等比数列an中，a1 008a1 009 ，则 lg a1lg a2lg a2 016() 1 100 【导学号：66482252】 A2 015 B2 016 C2 015 D2 016 (2)(2017南昌一模)若等比数列的各项均为正数，前 4 项的和为 9，积
13、为，则前 4 81 4 项倒数的和为() 【导学号：66482253】 A. B 3 2 9 4 C1 D2 (1 1)D D(2 2)D D(1)lg a1lg a2lg a2 016lg a1a2a2 016lg(a1 008a1 009)1 008lg1 008lg1 0082 016，故选 D. ( 1 100)(102) (2)由题意得S49，所以.由a1a1qa1q2a1q3(a q3)2 a11q4 1q 1q4 1q 9 a12 1 得a q3 .由等比数列的性质知该数列前 4 项倒数的和为 81 42 1 9 2 1 a1(1 1 q4) 11 q q41 a1q3q1 2，
14、故选 D. 1 a1q3 9 a1 9 a2 1q3 思想与方法 7 1方程的思想等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二” ，通 过列方程(组)求解 2函数的思想通项公式an a1qn1可化为anqn，因此an是关于n的函数， ( a1 q) 即an中的各项所表示的点(n，an)在曲线yqx上，是一群孤立的点 ( a1 q) 3分类讨论思想当q1 时，an的前n项和Snna1；当q1 时，an的前n项 和Sn.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，此处 a11qn 1q a1anq 1q 是常考易错点 易错与防范 1特别注意q1 时，Snna1这一特殊情况 2由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10. 3在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1 与q1 分类讨论，防止因忽 视q1 这一特殊情形而导致解题失误 4Sn，S2nSn，S3nS2n未必成等比数列(例如：当公比q1 且n为偶数时， Sn，S2nSn，S3nS2n不成等比数列；当q1 或q1 且n为奇数时， Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列)
