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1、升级增分训练 利用导数探究含参数函数的性质1已知函数f(x)xax2ln(1x)(a0)(1)若x2是f(x)的极值点，求a的值；(2)求f(x)的单调区间解：f(x)，x(1，)(1)依题意，得f(2)0，即0，解得a经检验，a符合题意，故a的值为(2)令f(x)0，得x10，x21当0a1时，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(1，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)f(x1)f(x2)f(x)的单调增区间是，单调减区间是(1,0)和当a1时，f(x)的单调减区间是(1，)当a1时，1x20，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(1，x2)x2(x2，x1)x1(x
2、1，)f(x)00f(x)f(x2)f(x1)f(x)的单调增区间是，单调减区间是和(0，)综上，当0a1时，f(x)的单调增区间是，单调减区间是(1,0)和；当a1时，f(x)的单调减区间是(1，)；当a1时，f(x)的单调增区间是，单调减区间是和(0，)2已知函数f(x)(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在1，e(e为自然对数的底数)上的最大值解：(1)当x1时，f(x)3x22xx(3x2)，令f(x)0，解得x0或x当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)极小值极大值故当x0时，函数f(x)取得极小值为f(0)0
3、，函数f(x)的极大值点为x(2)当1x1时，由(1)知，函数f(x)在1,0和上单调递减，在上单调递增因为f(1)2，f，f(0)0，所以f(x)在1,1)上的最大值为2当1xe时，f(x)aln x，当a0时，f(x)0；当a0时，f(x)在1，e上单调递增，则f(x)在1，e上的最大值为f(e)a综上所述，当a2时，f(x)在1，e上的最大值为a；当a2时，f(x)在1，e上的最大值为23已知函数f(x)ax1ln x(aR)(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f(x)在x1处取得极值，x(0，)，f(x)bx2恒成立，求实数b的取值范围解：(1)由已知得f(x)
4、a(x0)当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，函数f(x)在(0，)上单调递减，f(x)在(0，)上没有极值点当a0时，由f(x)0，得0x，由f(x)0，得x，f(x)在上单调递减，在上单调递增，即f(x)在x处有极小值当a0时，f(x)在(0，)上没有极值点，当a0时，f(x)在(0，)上有一个极值点(2)函数f(x)在x1处取得极值，f(1)0，解得a1，f(x)bx21b，令g(x)1，则g(x)，令g(x)0，得xe2则g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，)上单调递增，g(x)ming(e2)1，即b1，故实数b的取值范围为4已知方程f(x)x22axf(x)a210，其
5、中aR，xR(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在0，)上存在最大值和最小值，求实数a的取值范围解：(1)由f(x)x22axf(x)a210得f(x)，则f(x)当a0时，f(x)，所以f(x)在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减，即f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，0)当a0时，令f(x)0，得x1a，x2，当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极小值极大值故f(x)的单调递减区间是(，a)，单调递增区间是当a0时，令f(x)0，得x1a，x2，当x变化时，f(x)与f(x)的变
6、化情况如下：x(，x2)x2(x2，x1)x1(x1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的单调递增区间是，(a，)，单调递减区间是(2)由(1)得，a0不合题意当a0时，由(1)得，f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)在0，)上存在最大值fa20设x0为f(x)的零点，易知x0，且x0从而当xx0时，f(x)0；当xx0时，f(x)0若f(x)在0，)上存在最小值，必有f(0)0，解得1a1所以当a0时，若f(x)在0，)上存在最大值和最小值，则实数a的取值范围是(0,1当a0时，由(1)得，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，所以f(x)在0，)上存
7、在最小值f(a)1易知当xa时，1f(x)0，所以若f(x)在0，)上存在最大值，必有f(0)0，解得a1或a1所以当a0时，若f(x)在0，)上存在最大值和最小值，则实数a的取值范围是(，1综上所述，实数a的取值范围是(，1(0,15设函数f(x)x2axb(1)讨论函数f(sin x)在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；(2)记f0(x)x2a0xb0，求函数|f(sin x)f0(sin x)|在上的最大值D；(3)在(2)中，取a0b00，求zb满足条件D1时的最大值解：(1)由题意，f(sin x)sin2xasin xbsin x(sin xa)b，则f(sin x)(2
8、sin xa)cos x，因为x，所以cos x0，22sin x2a2，bR时，函数f(sin x)单调递增，无极值；a2，bR时，函数f(sin x)单调递减，无极值；对于2a2，在内存在唯一的x0，使得2sin x0axx0时，函数f(sin x)单调递减；x0x时，函数f(sin x)单调递增因此，2a2，bR时，函数f(sin x)在x0处有极小值f(sin x0)fb(2)当x时，|f(sin x)f0(sin x)|(a0a)sin xbb0|aa0|bb0|，当(a0a)(bb0)0，x时等号成立，当(a0a)(bb0)0时，x时等号成立由此可知，|f(sin x)f0(sin
9、 x)|在上的最大值为D|aa0|bb0|(3)D1即为|a|b|1，此时0a21，1b1，从而zb1取a0，b1，则|a|b|1，并且zb1由此可知，zb满足条件D1的最大值为16已知函数f(x)x，g(x)aln x(aR)(1)当a2时，求F(x)f(x)g(x)的单调区间；(2)设h(x)f(x)g(x)，且h(x)有两个极值点为x1，x2，其中x1，求h(x1)h(x2)的最小值解：(1)由题意得F(x)xaln x(x0)，则F(x)，令m(x)x2ax1，则a24当2a2时，0，从而F(x)0，所以F(x)的单调递增区间为(0，)；当a2时，0，设F(x)0的两根为x1，x2，所以F(x)的单调递增区间为和，F(x)的单调递减区间为综上，当2a2时，F(x)的单调递增区间为(0，)；当a2时，F(x)的单调递增区间为和，F(x)的单调递减区间为(2)对h(x)xaln x，x(0，)求导得，h(x)1，h(x)0的两根分别为x1，x2，则有x1x21，x1x2a，所以x2，从而有ax1令H(x)h(x)hxln x2，即H(x)2ln x(x0)当x时，H(x)0，所以H(x)在上单调递减，又H(x1)h(x1)hh(x1)h(x2)，所以h(x1)h(x2)minH5ln 236
