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1、【2019最新】精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-1直线的方程教师用书1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是0，180)2斜率公式(1)若直线l的倾斜角90，则斜率ktan .(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1x2，则l的斜率k.3直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1 (x1x2)和直线yy1 (y1y2)截距式
2、1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用【知识拓展】1直线系方程(1)与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mR且mC)(2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAym0(mR)2两直线平行或重合的充要条件直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20平行或重合的充要条件是A1B2A2B10.3两直线垂直的充要条件直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20垂直的充要条件是A1A2B1B20.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置()(
3、2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率()(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大()(4)直线的斜率为tan ，则其倾斜角为.()(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等()(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()1(2016天津模拟)过点M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A1 B4C1或3 D1或4答案A解析依题意得1，解得m1.2(2016镇海中学检测)直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是()A0， B，)C0，(，) D，)，)答案B解析由直线方程可得该直线的
4、斜率为，又10，所以倾斜角的取值范围是，)3如果AC0且BC0，在y轴上的截距0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限4(教材改编)直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a .答案1或2解析令x0，得直线l在y轴上的截距为2a；令y0，得直线l在x轴上的截距为1，依题意2a1，解得a1或a2.题型一直线的倾斜角与斜率例1(1)(2016北京东区期末)已知直线l的倾斜角为，斜率为k，那么“”是“k”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为 答
5、案(1)B(2)(，1，)解析(1)当时，k时，”是“k”的必要不充分条件，故选B.(2)如图，kAP1，kBP，k(， 1，)引申探究1若将题(2)中P(1,0)改为P(1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围解P(1,0)，A(2,1)，B(0，)，kAP，kBP.如图可知，直线l斜率的取值范围为.2若将题(2)中的B点坐标改为(2，1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围解如图，直线PA的倾斜角为45，直线PB的倾斜角为135，由图象知l的倾斜角的范围为0，45135，180)思维升华直线倾斜角的范围是0，)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两
6、种情况讨论由正切函数图象可以看出，当时，斜率k0，)；当时，斜率不存在；当时，斜率k(，0)(2016南昌模拟)已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为()A150 B135 C120 D不存在答案A解析由y得x2y22(y0)，它表示以原点O为圆心，以为半径的圆的一部分，其图象如图所示显然直线l的斜率存在，设过点P(2,0)的直线l为yk(x2)，则圆心到此直线的距离d，弦长|AB|2 2，所以SAOB21，当且仅当(2k)222k2，即k2时等号成立，由图可得k(k舍去)，故直线l的倾斜角为150.题型二求直线的方程
7、例2根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(5,10)，到原点的距离为5；(3)过点A(5，4)作直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5，求直线l的方程解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin (00，b0)，把点P(3,2)代入得12，得ab24，从而SAOBab12，当且仅当时等号成立，这时k，从而所求直线方程为2x3y120.方法二依题意知，直线l的斜率k存在且k0.则直线l的方程为y2k(x3)(k0)，且有A，B(0,23k)，SABO(23k)(1212)12.当且仅当9k，即k时，等号成
8、立即ABO的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x3y120.命题点2由直线方程解决参数问题例4已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值解由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2a，直线l2在x轴上的截距为a22，所以四边形的面积S2(2a)2(a22)a2a42，当a时，面积最小思维升华与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值(2)求直线方程弄清确定直线的两个条件，由直线方
9、程的几种特殊形式直接写出方程(3)求参数值或范围注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解(2016潍坊模拟)直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当|OA|OB|最小时，求直线l的方程解依题意，直线l的斜率存在且斜率为负，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y4k(x1)(k0)令y0，可得A(1，0)；令x0，可得B(0,4k)|OA|OB|(1)(4k)5(k)5(k)549.当且仅当k且k0，即k2时，|OA|OB|取最小值这时直线l的方程为2xy60.10求与截距有关的直线方程典例设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)若l在两坐标轴上的截距互为相反数，求a.错解展示现场纠错解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，a2，方程即为3xy0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.a2，即a11.a0，方程即为xy20.综上，直线l的方程为3xy0或xy20.(2)由(a2)得a20或a11，a2或a2.纠错心得在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分
