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1、【2019最新】精选高考数学大一轮复习高考专题突破三高考中的数列问题教师用书1(2016金华十校高三上学期调研)等差数列an的前n项和为Sn，若a11，S2a3，且a1，a2，ak成等比数列，则k等于()A1 B2 C3 D4答案D解析设公差为d，则2d12d，d1，ann，由aa1ak，得41k，k4.2已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S515，则数列的前100项和为()A. B.C. D.答案A解析设等差数列an的首项为a1，公差为d.a55，S515，ana1(n1)dn.，数列的前100项和为1.3(2016杭州学军中学模拟)已知等比数列an的公比q0，前n项和为Sn.若2a
2、3，a5,3a4成等差数列，a2a4a664，则q_，Sn_.答案2解析由a2a4a664，得a64，解得a44.由2a3，a5,3a4成等差数列，得2a4q3a4，即8q12，解得q2或q(舍去)又a1q34，所以a1，所以Sn.4(2015课标全国)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.答案解析由题意，得S1a11，又由an1SnSn1，得Sn1SnSnSn1，因为Sn0，所以1，即1，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以1(n1)n，所以Sn.题型一等差数列、等比数列的综合问题例1(2016四川)已知数列an的首项为1，Sn为数列an的前n 项和，Sn
3、1qSn1，其中q0，nN*.(1)若a2，a3，a2a3成等差数列，求数列an的通项公式；(2)设双曲线x21的离心率为en，且e22，求eee.解(1)由已知，Sn1qSn1，得Sn2qSn11，两式相减得an2qan1，n1.又由S2qS11得a2qa1，故an1qan对所有n1都成立所以，数列an是首项为1，公比为q的等比数列从而anqn1.由a2，a3，a2a3成等差数列，可得2a3a2a2a3，所以a32a2，故q2.所以an2n1(nN*)(2)由(1)可知，anqn1，所以双曲线x21的离心率en.由e22，解得q，所以eee(11)(1q2)1q2(n1)n1q2q2(n1)
4、nn(3n1)思维升华等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设TnSn(nN*)，求数列Tn的最大项的值与最小项的值解(1)设等比数列a
5、n的公比为q，因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，于是q2.又an不是递减数列且a1，所以q.故等比数列an的通项公式为ann1(1)n1.(2)由(1)，得Sn1n当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1SnS1，故0SnS1.当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以S2SnSnS2.综上，对于nN*，总有Sn.所以数列Tn的最大项的值为，最小项的值为.题型二数列的通项与求和例2已知数列an的前n项和为Sn，在数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通
6、项公式(1)证明anSnn，an1Sn1n1.，得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，an1是等比数列首项c1a11，又a1a11.a1，c1，公比q.又cnan1，cn是以为首项，为公比的等比数列(2)解由(1)可知cn()()n1()n，ancn11()n.当n2时，bnanan11()n1()n1()n1()n()n.又b1a1，代入上式也符合，bn()n.思维升华(1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项相消法等已知数列an的前n项和为Sn，且a1，a
7、n1an.(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列an的通项公式与前n项和Sn.(1)证明a1，an1an，当nN*时，0.又，(nN*)为常数，是以为首项，为公比的等比数列(2)解由是以为首项，为公比的等比数列，得()n1，ann()n.Sn12()23()3n()n，Sn1()22()3(n1)()nn()n1，Sn()2()3()nn()n1n()n1，Sn2()n1n()n2(n2)()n.综上，ann()n，Sn2(n2)()n.题型三数列与其他知识的交汇命题点1数列与函数的交汇例3(2016温州十校联考)已知二次函数f(x)ax2bx的图象过点(4n,0)，且f(0)2n，nN*，
8、数列an满足f，且a14.(1)求数列an的通项公式；(2)记bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)f(x)2axb，由题意知b2n,16n2a4nb0，a，则f(x)x22nx，nN*.数列an满足f，又f(x)x2n，2n，2n，由叠加法可得2462(n1)n2n，化简可得an(n2)，当n1时，a14也符合，an(nN*)(2)bn2，Tnb1b2bn22.命题点2数列与不等式的交汇例4(2016宁波高三上学期期末考试)对任意正整数n，设an是方程x21的正根求证：(1)an1an；(2)0，得0an1.(1)a1，a1，两式相减得0aa0，故an1an0，即an1an.(2)因为an
9、(an)1，所以an，由0an1，得1，从而当i2时，(1)(11)， (1)1 (1)1 ().所以0)(1)判断函数yf(x)的单调性，给出你的结论；(2)若数列an的各项均为正数，a11，在m2时，an1f(an)g(an)2 (nN*)，求证：an2n1.(1)解求导，得f(x)1，由f(x)0，得x1.当x(0,1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0)下面用数学归纳法证明an2n1 (*)成立当n1时，a11211，(*)式成立假设当nk时，ak2k1成立，则当nk1时，ak1ln akak2ak1ak22ak12(2k1)12k11.所以当nk1时，(*)式也成立由可知，a
10、n2n1成立.1(2016北京)已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和解(1)设数列an的公差为d，bn的公比为q，由得bn的通项公式bnb1qn13n1，又a1b11，a14b434127，1(141)d27，解得d2.an的通项公式ana1(n1)d1(n1)22n1(n1,2,3，)(2)设数列cn的前n项和为Sanbn2n13n1，Snc1c2c3cn2113022131231322n13n12(12n)n2nn2.即数列cn的前n项和为n2.2(2016全国甲卷)等差数列an中，a3a44，a5a76.(1)求an的通项公式；(2)设bnan，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，2.62.解(1)设数列an的首项为a1，公差为d，由题意有解得所以an的通项公式为an.(2)由(1)知，bn.
