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1、（全国通用版）高考数学一轮复习第十四单元椭圆、双曲线、抛物线双基过关检测理椭圆、双曲线、抛物线”双基过关检测一、选择题1抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，若其上一点P(m,1)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为()Ay8x2By16x2Cx28y Dx216y解析：选D根据题意知，点P(m,1)在x轴上方，则抛物线开口向上，设其标准方程为x22py，其准线方程为y，由点P到焦点的距离为5，得15, 解得p8，则抛物线的标准方程为x216y.2椭圆1的焦距为2，则m的值为()A9 B23C9或23 D16或16解析：选C由椭圆1的焦距为2，可得，22或22，解得m9或23. 3过抛物线y24x
2、的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1x26，则|PQ|()A9 B8C7 D6解析：选B抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.根据题意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.4若双曲线C：y21的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上一点，满足0的点P依次记为P1，P2，P3，P4，则四边形P1P2P3P4的面积为()A. B2C. D2解析：选C设P(x，y)，由已知得F1(，0)，F2(，0)，则(x，y)(x，y)x25y20，即x2y25，与双曲线方程y21联立，可得交点分别为，它们构成一个长为，宽为的长方形，所以四边形
3、P1P2P3P4的面积为.5若双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()Ay3x ByxCy2x Dyx解析：选D因为双曲线1(a0，b0)的离心率为，所以e，即e2110，所以3.因为双曲线1的焦点在y轴上，其渐近线方程为yx，所以该双曲线的渐近线方程为yx.6已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为()A.1 B.y21C.1 D.1解析：选A由椭圆的性质知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，又|AF1|AF2|BF1|BF2|4，a.又e，c1，b2a2c22，椭圆的方程为1
4、.7已知双曲线1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是()A. B.C. D.解析：选C由题意知F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为yx.当过点F的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.8已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为()A. B.C1 D.解析：选B如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义可得，|PF1|PF2|2a1，|PF1|PF2|2a2，|PF1|a1a2，|PF2|a1a2.设|F
5、1F2|2c，又F1PF2，在PF1F2中，由余弦定理得，4c2(a1a2)2(a1a2)22(a1a2)(a1a2)cos ，化简得：(2)a(2)a4c2，即4.又，4，即e1e2， 椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为. 二、填空题9(2017北京高考)若双曲线x21的离心率为，则实数m_.解析：由双曲线的标准方程可知a21，b2m，所以a1，c，所以e，解得m2.答案：210(2017全国卷)双曲线1(a0)的一条渐近线方程为yx，则a_.解析：双曲线的标准方程为1(a0)，双曲线的渐近线方程为yx.又双曲线的一条渐近线方程为yx，a5.答案：511与椭圆1有相同的焦点，且离心率为的椭圆
6、的标准方程为_解析：由椭圆1，得a29，b24，c2a2b25，该椭圆的焦点坐标为. 设所求椭圆方程为1，ab0，则c，又，得a5，b225520.所求椭圆方程为1. 答案：112(2018西安中学模拟)如图，过抛物线yx2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2(y1)21交于A，B，C，D四点，则_.解析：不妨设直线AB的方程为y1，联立解得x2，则A(2,1)，D(2,1)，因为B(1,1)，C(1,1)，所以(1,0)，(1,0)，所以1.答案：1三、解答题13已知椭圆C：1(ab0)的短轴长为2，且函数yx2的图象与椭圆C仅有两个公共点，过原点的直线l与椭圆C交于M，N两点(1)求椭圆C的标
7、准方程；(2)若点P为线段MN的中垂线与椭圆C的一个公共点，求PMN面积的最小值，并求此时直线l的方程解：(1)由题意可得，2b2，所以b1.联立y21(a1)与yx2，消去y，整理得x4x20，根据椭圆C与抛物线yx2的对称性，可得240，a1，解得a2. 椭圆C的标准方程为y21. (2)当直线l的斜率不存在时，SPMN2ba2；当直线l的斜率为0时，SPMN2ab2；当直线l的斜率存在且不为0时设直线l的方程为ykx，由解得x2，y2. |MN|24 .由题意可得，线段MN的中垂线方程为yx，联立可得x2，y2.|OP|2 .SPMN|MN|OP|，当且仅当k1时取等号，此时PMN的面积
8、的最小值为. 2，PMN的面积的最小值为，直线l的方程为yx.14.已知点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切解：(1)由抛物线的定义得|AF|2.因为|AF|3，即23，解得p2，所以抛物线E的方程为y24x.(2)因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2.由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从而B.又G(1,0)，所以kGA，kGB，所以kGAkGB0，从而AGFBGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切7
