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1、,正弦函数的图像,左 伟 2012年12月8日,正弦函数的图像与性质,P(u,v),M,x,y,正弦函数y=sinx有以下性质： （1）定义域：R （2）值域：-1，1 （3）是周期函数，最小正周期是 （4）在 0， 上的单调性是：,从单位圆看正弦函数的性质,sin = v,函数y=sinx,1、画函数的图像有哪些方法?,(1)描点法,(2)图像变换,描点法是做函数图像的基本方法,2、如何画出函数y=sinx(x的单位是弧度)的 图像？,描点法,提出问题,新问题:怎样得到正弦函数图像上点的坐标呢？,通过计算器得到,特殊角的正弦值还 可直接计算得到,描点法,(1) 列表(列出对图像形状起关键作用
2、的五点坐标),(3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点),(2) 描点(定出五个关键点),一、五点法：,简图作法,例1.用五点法画出y=-sinx ,x0， 的简图,解:(1) 列表,(2) 描点,(3) 连线,1,-1,y= -sinx, x 0, ,x,.,.,.,.,.,y,x,y,o,-1,1,2,2,.,.,.,.,.,例2.用五点法画出y=1+sinx,x0， 的简图,解:(1) 列表,(2) 描点,(3) 连线,三角问题,几何问题,二、正弦线：,o,可以把MP看做是带方向的线 段M为起点P为终点.,称MP为角的正弦线,如下图所示,角的终边与单 位圆交于点P(x,y)过点P作 轴的
3、垂线,垂足为M.,新方法,正弦线是正弦函数的一种几何表示,作法:,(1) 12等分圆,(2) 作正弦线,(3) 平移正弦线,(4) 连线,三、几何作法：,因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图像在， 与y=sinx,x0,2的图像相同,四、正弦曲线：,正弦函数y=sinx性质,(1)定义域：,y=sinx的定义域是实数集R,(2)值域:正弦函数的值域是1，1.,当且仅当x 2k，kZ时，正弦函数取得最大值1；,当且仅当x 2k，kZ时，正弦函数取得最小值1,(3) 周期性:,由sin(x2k)sinx (kZ)知： 正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的这种性质称为三角函数的
4、周期性。,正弦函数y=sinx性质,对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内任意x，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。,对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。（有些周期函数没有最小正周期）.,注意： (1) 周期函数中，x定义域M，则必有x+TM, 且若T0，则定义域无上界；T0则定义域无下界；,(2) “每一个值”，只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+T)f (x0)）；,(3) T往往是多值的（如y=sinx, T=2k都是周期,最
5、小正周期是2.）,(4) 奇偶性:,由sin(x)sinx,可知：ysinx为奇函数, 因此正弦曲线关于原点O对称.,(5)单调性,例3：设sinx=t3，xR，求t的取值范围。,解：因为1sinx1, 所以1t31, 由此解得2t4.,解：,(1) 令w2x，那么xR得ZR，且使函数ysinw，wR，取得最大值的集合是ww 2k，kZ,由2xw 2k，,得x k.,即 使函数ysin2x，xR取得最大值的x的集合是xx k，kZ,函数ysin2x，xR的最大值是1.,(2) 当3x+ =2k+ 即 x= (kZ)时, y的最大值为0.,例5：求下列三角函数的周期： y=sin(x+ )； (
6、2) y=3sin( + ) (3) y=|sinx|,解： (1) 令z= x+ 而 sin(2+z)=sinz,即：f (2+z)=f (z) ,f (x+2)+ =f (x+ ),函数的周期T=2 .,(2) y=3sin( ),解：令z= ， 则,f (x)=3sinz=3sin(z+2),函数的周期T=4 .,=f (x+4),=3sin( ),=3sin( +2),(3) y=|sinx|,解：f(x+)=|sin(x+)|=|sinx|, 所以函数的周期是T=.,一般地，函数yAsin(x) （其中 ）的周期是,例6：不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0, (1)sin( )sin( )； (2)sin( )sin( ),解：(1) ,且函数ysinx，x ， 是增函数,即sin( )sin( )0,(2)sin( )sin,sin( )sin,函数y=sinx在区间( )内为增函数,sin( )sin( )0.,本节课的重点:五点作图法 本节课的难点:正弦函数图像的几何作法,1.作函数 y=2sinx-1，x0,2的简图 2.预习正弦函数的性质,
