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1、学 海 无 涯 1 函数周期性的几个重要结论函数周期性的几个重要结论 1、()( )f x Tf x=( 0T ) )(xfy =的周期为T，kT(kZ)也是函数的周期 2、()()f xaf xb+=+ )(xfy =的周期为abT= 3、)()(xfaxf=+ )(xfy =的周期为aT2= 4、 )( 1 )( xf axf=+ )(xfy =的周期为aT2= 5、 )( 1 )( xf axf=+ )(xfy =的周期为aT2= 6、 )(1 )(1 )( xf xf axf + =+ )(xfy =的周期为aT3= 7、 1)( 1 )( + =+ xf axf )(xfy =的周期
2、为aT2= 8、 )(1 )(1 )( xf xf axf + =+ )(xfy =的周期为aT4= 9、)()()2(xfaxfaxf+=+ )(xfy =的周期为aT6= 10、若. 2 , ) 2 ()(, 0 p T p pxfpxfp=则 11、)(xfy =有两条对称轴ax =和bx = ()ba)(xfy = 周期)(2abT= 推论：偶函数)(xfy =满足)()(xafxaf=+)(xfy = 周期aT2= 12、)(xfy =有两个对称中心)0 ,(a和)0 ,(b ()ba )(xfy = 周期)(2abT= 推论：奇函数)(xfy =满足)()(xafxaf=+)(xf
3、y = 周期aT4= 13、)(xfy =有一条对称轴ax =和一个对称中心)0 ,(b()ba( )f x的)(4abT= 抽象函数的对称性抽象函数的对称性 1 1 若函数 yf(x)关于直线 xa 轴对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(ax)f(ax) （2）f(2ax)f(x) （3）f(2ax)f(x) 2 2 若函数 yf(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(ax)f(ax)（2）f(2ax)f(x)（3）f(2ax)f(x) 易知，yf(x)为偶（或奇）函数分别为性质 1（或 2）当 a0 时的特例 学 海 无 涯 2 函数的周期性函数的周期
4、性 若 a 是非零常数，若对于函数 yf(x)定义域内的任一变量 x 点有下列条件 之一成立，则函数 yf(x)是周期函数，且 2|a|是它的一个周期。 f(xa)f(xa) f(xa)f(x) f(xa)1/f(x) f(xa)1/f(x) 函数的对称性与周期性函数的对称性与周期性 性质性质 5 5 若函数 yf(x)同时关于直线 xa 与 xb 轴对称，则函数 f(x)必 为周期函数，且 T2|ab| 性质性质 6 6、若函数 yf(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函 数 f(x)必为周期函数，且 T2|ab| 性质性质 7 7、若函数 yf(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线 xb 轴对 称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T4|ab|
